Fonti citate

Le proprietà che cadono, capitolo per capitolo

Capitolo	Proprietà perduta	Argomento fisico
1 — La perdita dell'unicità	Un tempo unico valido ovunque	Relatività generale: il tempo dipende dalla posizione nel campo gravitazionale (rallenta vicino alle masse).
2 — La perdita della direzione	Una freccia preferita passato → futuro	Termodinamica statistica: la direzione del tempo emerge dalla crescita dell'entropia + sfocatura. Non è scritta nelle leggi fondamentali.
3 — La fine del presente	Un "adesso" universale condiviso	Relatività speciale: la simultaneità è relativa al sistema di riferimento. Per eventi spazialmente separati esiste un "presente esteso", non un istante condiviso.
5 — La perdita dell'indipendenza	Tempo e spazio come palco indipendente dalle cose	Relatività generale: tempo e spazio sono il campo gravitazionale, una sostanza fisica che si deforma con la materia.
6 — I quanti del tempo	Continuità e oggettività del tempo	Meccanica quantistica + gravità quantistica: il tempo è granulare (scala di Planck), probabilistico, relazionale.

Le intuizioni demolite

Ogni capitolo si confronta con un'intuizione presente nell'esperienza ordinaria:

• "C'è un tempo solo, uguale per tutti" — demolita dal Cap. 1.
• "Il tempo va sempre nella stessa direzione" — demolita dal Cap. 2.
• "Adesso è uno e uguale dovunque nell'universo" — demolita dal Cap. 3.
• "Tempo e spazio esistono indipendentemente dalle cose" — demolita dal Cap. 5.
• "Il tempo scorre in modo continuo" — demolita dal Cap. 6.

La struttura "a cipolla"

Rovelli presenta il tempo come una stratificazione. Lo strato esterno (quello dell'esperienza comune) ha le proprietà intuitive: uniformità, direzione, sincronicità, indipendenza, continuità. La fisica le rimuove una a una, partendo dall'esterno e procedendo verso strati più profondi. Quel che resta al centro è qualcosa di diverso dal tempo quotidiano.

Rovelli precisa che non sta sostenendo che "il tempo non esiste". Sostiene che esiste, ma in una forma diversa da come l'intuizione lo presenta. Il tempo quotidiano è un'approssimazione locale valida nel nostro angolo dell'universo a scale umane, non una proprietà fondamentale della realtà.

Il principio di equivalenza (Einstein, 1907)

Einstein formula il principio di equivalenza nel 1907, otto anni prima della pubblicazione completa della relatività generale (1915). Pubblicazione: "Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen", Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik, 4, 411-462.

Formulazione: localmente, non è possibile distinguere mediante esperimenti meccanici l'effetto di un campo gravitazionale uniforme dall'effetto di un sistema di riferimento accelerato. Massa inerziale e massa gravitazionale coincidono numericamente — una coincidenza che Einstein elegge a principio strutturale della teoria.

L'esperimento mentale del razzo accelerato

Einstein deriva la dilatazione gravitazionale del tempo da un esperimento mentale:

1. Un razzo nello spazio profondo accelera uniformemente a g = 9,81 m/s² (l'accelerazione gravitazionale terrestre). Per un osservatore interno al razzo, l'esperienza è indistinguibile dallo stare fermi sulla superficie terrestre.
2. Dal pavimento, un raggio di luce parte verso il soffitto.
3. Mentre la luce viaggia, il razzo continua ad accelerare. Quando la luce raggiunge il soffitto, il soffitto si muove più velocemente di quando era partita la luce.
4. Per l'osservatore al soffitto, la luce arriva con frequenza più bassa (effetto Doppler relativistico).
5. La conclusione per analogia con il principio di equivalenza: anche in un campo gravitazionale, la luce che sale perde frequenza, e gli orologi in basso ticchettano più lentamente di quelli in alto.

Verifica sperimentale: Pound-Rebka (1959-1960)

Esperimento di Robert V. Pound e Glen A. Rebka Jr. alla torre Jefferson di Harvard, altezza 22,5 metri.

• Sorgente: emettitore di raggi gamma a 14,4 keV da nuclei di ferro-57 (effetto Mössbauer)
• Rivelatore: un altro campione di ferro-57 a 22,5 m sopra o sotto
• Risultato misurato: spostamento di frequenza relativo Δf/f = (2,56 ± 0,25) × 10⁻¹⁵, in accordo con la previsione Δf/f = gh/c² entro circa il 10%

Pubblicazione: Pound, R. V. & Rebka, G. A. (1960). "Apparent Weight of Photons". Physical Review Letters, 4(7), 337-341.

È il primo test della dilatazione gravitazionale del tempo in laboratorio terrestre.

Applicazione: GPS

Il Global Positioning System è una verifica operativa continua della relatività generale dal 1995.

• Altitudine satelliti: ~20.200 km
• Velocità orbitale: ~14.000 km/h (due orbite/giorno)
• Effetto generale (gravità più debole in alto): +45 µs/giorno
• Effetto speciale (velocità orbitale): −7 µs/giorno
• Netto: orologi GPS in orbita corrono +38 µs/giorno più veloci di quelli terrestri

Senza correzione, l'errore di posizione cumulato sarebbe dell'ordine di 10-11 km al giorno. La correzione è progettata nel sistema: gli orologi a bordo dei satelliti sono regolati su una frequenza più lenta prima del lancio in modo da scorrere alla velocità "terrestre" una volta in orbita.

Aristotele: il tempo come numero del movimento

Fonte primaria: Aristotele, Fisica (Φυσική), Libro IV, capitoli 10-14 (~350 a.C.).

Definizione esatta: il tempo è "ἀριθμὸς κινήσεως κατὰ τὸ πρότερον καὶ ὕστερον" — "numero del movimento secondo il prima e il poi" (Phys. IV 11, 219b1-2).

Implicazioni per Aristotele:

• Il tempo non è un'entità autonoma — è la misura del cambiamento delle cose.
• Senza cambiamento, niente tempo.
• "Tornerò tra tre giorni" significa "tra la mia partenza e il mio ritorno il sole compirà tre giri nel cielo": il "tempo" è riferimento al moto di una cosa concreta.

L'obiezione del sonno (Phys. IV, 11, 218b21-219a1)

Aristotele cita il caso dei "dormienti in Sardegna" — quelli che dopo un sonno profondo congiungono direttamente il "prima" e il "poi" senza percepire mutamento.

La risposta di Aristotele: anche nel sonno c'è movimento dell'anima — battito cardiaco, sogni, processi inconsci. Il tempo percepito nel sonno misura questo movimento interno. Se anche il moto interno cessasse, non ci sarebbe più tempo.

Lo spazio per Aristotele

Fonte: Fisica IV, capp. 1-9.

Definizione del luogo (τόπος): "il limite del corpo che contiene, in quanto è in contatto con il contenuto" (Phys. IV 4, 212a20).

Conseguenze:

• Lo spazio è una relazione, non una sostanza.
• Il vuoto non esiste come concetto coerente (capp. 6-9): Aristotele argomenta che in un vuoto perfetto un corpo si muoverebbe a velocità infinita, conclusione assurda — l'horror vacui.

Newton: tempo e spazio assoluti

Fonte primaria: Isaac Newton, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687), Scolio alle Definizioni (subito dopo la Definizione VIII).

Tempo assoluto

"Tempus absolutum, verum et mathematicum, in se et natura sua absque relatione ad externum quodvis aequabiliter fluit."

— Newton, Principia, Scolium

Traduzione: "Il tempo assoluto, vero e matematico, in sé e per sua natura, scorre uniformemente senza relazione ad alcuna cosa esterna."

Newton distingue:

• Tempo assoluto, vero, matematico: scorre uniforme, indipendente da tutto. Anche se nulla cambiasse, scorrerebbe ugualmente. È il tempo della fisica.
• Tempo relativo, apparente, comune: misurato con orologi, giorni, mesi. È un'approssimazione pratica del primo.

Il tempo assoluto non è percepibile direttamente: solo deducibile con calcoli, correggendo le irregolarità dei giorni naturali (orbita ellittica, inclinazione dell'asse terrestre).

Spazio assoluto

"Spatium absolutum, natura sua absque relatione ad externum quodvis, semper manet similare et immobile."

Traduzione: "Lo spazio assoluto, per sua natura, senza relazione ad alcuna cosa esterna, rimane sempre uguale a sé stesso e immobile."

Lo spazio è un contenitore esistente anche dove non c'è materia — il "palcoscenico" su cui si svolge la fisica.

Perché il quadro newtoniano si afferma per due secoli

Sul quadro di tempo e spazio assoluti Newton costruisce:

• La seconda legge della dinamica: F = m·a, dove t è il tempo assoluto.
• La legge di gravitazione universale.
• Tutta la fisica classica di Sette- e Ottocento.

Le equazioni di Newton descrivono con precisione il moto dei pianeti, la caduta dei corpi, le maree. La concezione assoluta non viene messa in discussione fino a Mach (fine XIX secolo) e poi Einstein (1905-1915).

La replica di Leibniz: il relazionalismo

Fonte: corrispondenza Leibniz-Clarke (1715-1716), mediata da Carolina Principessa del Galles.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716): il tempo è "ordine di successioni" tra accadimenti; lo spazio è "ordine di coesistenze" tra cose. Né tempo né spazio sono entità autonome: esistono solo come relazioni.

Samuel Clarke (1675-1729), allievo e portavoce di Newton, difende l'assolutismo. Il dibattito Leibniz-Clarke si interrompe con la morte di Leibniz nel novembre 1716.

L'esperimento di Torricelli (1643-1644)

Evangelista Torricelli (1608-1647), allievo di Galileo, esegue nel 1643 a Firenze l'esperimento del barometro a mercurio (la realizzazione materiale è di Vincenzo Viviani). La lettera a Michelangelo Ricci che documenta l'esperimento è dell'11 giugno 1644.

Risultato: sopra una colonna di mercurio in un tubo chiuso si forma una regione priva di aria. È la prima evidenza empirica di un vuoto stabile in laboratorio, e viene interpretata come supporto dello spazio assoluto newtoniano.

Il vuoto quantistico nella fisica moderna

La fisica del XX secolo mostra che il "vuoto" non è privo di entità fisiche:

• Contiene fluttuazioni di campo (energia di punto-zero del campo elettromagnetico e di altri campi).
• Particelle virtuali coppia/anticoppia che appaiono e scompaiono.
• Campi presenti ovunque, anche dove la materia è assente.

Effetti misurati:

• Effetto Casimir: forza attrattiva tra due placche metalliche parallele nel vuoto, predetto da Hendrik Casimir (1948), misurato sperimentalmente da Steve Lamoreaux (1997).
• Lamb shift: correzione quantistica delle linee spettrali dell'idrogeno, misurata da Willis Lamb (1947).
• Emissione spontanea: i fotoni emessi da atomi eccitati senza stimolo esterno.

Un vuoto privo di ogni entità fisica non è mai stato osservato. Lo spazio assoluto newtoniano resta una costruzione teorica.

La sintesi

Einstein presenta le equazioni di campo della relatività generale all'Accademia Prussiana il 25 novembre 1915. La novità: tempo e spazio sono reali come postulava Newton, ma non sono un palcoscenico indipendente; sono fatti del campo gravitazionale, una sostanza fisica concreta che si deforma in presenza di materia ed energia. La curvatura del campo determina la geometria locale dello spazio-tempo.

Il concetto di campo in fisica

Un campo è una grandezza fisica che assume un valore in ogni punto dello spazio e in ogni istante del tempo. Nella fisica moderna esistono diversi campi fondamentali:

• Campo elettromagnetico (Maxwell, 1864): descrive luce, forze elettriche e magnetiche.
• Campi spinoriali di Dirac (Dirac, 1928): descrivono le particelle di materia di spin 1/2 — elettroni, quark, neutrini.
• Campi di Yang-Mills (Yang & Mills, 1954): descrivono le interazioni forte (QCD, gluoni) e debole (bosoni W e Z).
• Campo gravitazionale: lo spazio-tempo stesso, nella formulazione di Einstein.

Le equazioni di campo (1915)

Einstein, "Die Feldgleichungen der Gravitation", Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften, presentato 25 novembre 1915, pubblicato 2 dicembre 1915. Le equazioni del campo gravitazionale in forma compatta:

G_μν + Λ g_μν = (8π G / c⁴) T_μν

dove G_μν è il tensore di Einstein (che descrive la curvatura dello spazio-tempo), Λ la costante cosmologica, g_μν la metrica, T_μν il tensore energia-impulso (sorgente del campo), G la costante di gravitazione universale, c la velocità della luce.

Lato sinistro: geometria dello spazio-tempo (tensore di Einstein, costante cosmologica, metrica). Lato destro: distribuzione di materia ed energia (tensore energia-impulso).

La parafrasi di John Wheeler: "le cose dicono allo spazio-tempo come curvarsi, lo spazio-tempo dice alle cose come muoversi".

Le manifestazioni della curvatura

Il campo gravitazionale può:

• Essere approssimativamente piatto: spazio-tempo a geometria euclidea, tempo uniforme — limite newtoniano.
• Essere curvato dalla massa: vicino a stelle, pianeti, buchi neri. Il tempo rallenta dove il campo è più contratto.
• Oscillare: onde gravitazionali. Predette da Einstein (1916), rivelate sperimentalmente il 14 settembre 2015 (evento GW150914, osservatorio LIGO).

La dilatazione gravitazionale del tempo

In termini di campo: vicino a una massa, la geometria del campo è più "contratta". Dove il campo è contratto, il tempo proprio scorre più lentamente per gli osservatori locali.

Verifica operativa continua: GPS. I satelliti in orbita a ~20.200 km registrano tempi propri più veloci di circa +38 microsecondi al giorno rispetto agli orologi terrestri. La correzione è incorporata nel sistema fin dalla progettazione.

La conseguenza ontologica

Il campo gravitazionale non è il palcoscenico della fisica: è uno degli attori, come gli altri campi (elettromagnetico, di Dirac, di Yang-Mills). Si sovrappone agli altri, interagisce con loro, si deforma.

Rovelli, L'ordine del tempo, Capitolo 5:

"Il mondo è una sovrapposizione di tele e di strati, di cui il campo gravitazionale è solo uno degli altri. Come gli altri, non è né assoluto, né uniforme, né fisso."

— Carlo Rovelli, L'ordine del tempo (Adelphi, 2017)

Cosa Einstein concede a chi

• A Newton: esiste qualcosa al di là delle cose comuni — quel qualcosa è il campo gravitazionale, una sostanza fisica reale.
• Ad Aristotele: tempo e spazio sono modi di localizzarci rispetto a cose; la "cosa" rispetto a cui ci localizziamo può essere il campo gravitazionale stesso, entità dinamica e concreta.

Tempo e spazio risultano reali ma non assoluti — una cosa tra le cose.

L'osservazione di Einstein sulla quantizzazione del campo gravitazionale (1916)

Nello stesso anno della pubblicazione della relatività generale, Einstein pubblica "Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation" (Sitzungsberichte, giugno 1916), e nota che la teoria classica della gravitazione dovrà essere modificata da effetti quantistici, in analogia con quanto avvenuto in elettrodinamica.

Un anno dopo aver scritto le equazioni del campo gravitazionale, Einstein riconosce che non sono l'ultima parola: il campo gravitazionale, come gli altri campi fisici, dovrà avere proprietà quantistiche. È il programma di ricerca poi noto come gravità quantistica.

Il principio di equivalenza (Einstein, 1907)

Einstein formula il principio di equivalenza nel 1907, otto anni prima della pubblicazione completa della relatività generale (1915). Pubblicazione: "Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen", Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik, 4, 411-462.

Formulazione: localmente, non è possibile distinguere mediante esperimenti meccanici l'effetto di un campo gravitazionale uniforme dall'effetto di un sistema di riferimento accelerato. Massa inerziale e massa gravitazionale coincidono numericamente — una coincidenza che Einstein elegge a principio strutturale della teoria.

L'esperimento mentale del razzo accelerato

Einstein deriva la dilatazione gravitazionale del tempo da un esperimento mentale:

1. Un razzo nello spazio profondo accelera uniformemente a g = 9,81 m/s² (l'accelerazione gravitazionale terrestre). Per un osservatore interno al razzo, l'esperienza è indistinguibile dallo stare fermi sulla superficie terrestre.
2. Dal pavimento, un raggio di luce parte verso il soffitto.
3. Mentre la luce viaggia, il razzo continua ad accelerare. Quando la luce raggiunge il soffitto, il soffitto si muove più velocemente di quando era partita la luce.
4. Per l'osservatore al soffitto, la luce arriva con frequenza più bassa (effetto Doppler relativistico).
5. La conclusione per analogia con il principio di equivalenza: anche in un campo gravitazionale, la luce che sale perde frequenza, e gli orologi in basso ticchettano più lentamente di quelli in alto.

Verifica sperimentale: Pound-Rebka (1959-1960)

Esperimento di Robert V. Pound e Glen A. Rebka Jr. alla torre Jefferson di Harvard, altezza 22,5 metri.

• Sorgente: emettitore di raggi gamma a 14,4 keV da nuclei di ferro-57 (effetto Mössbauer)
• Rivelatore: un altro campione di ferro-57 a 22,5 m sopra o sotto
• Risultato misurato: spostamento di frequenza relativo Δf/f = (2,56 ± 0,25) × 10⁻¹⁵, in accordo con la previsione Δf/f = gh/c² entro circa il 10%

Pubblicazione: Pound, R. V. & Rebka, G. A. (1960). "Apparent Weight of Photons". Physical Review Letters, 4(7), 337-341.

È il primo test della dilatazione gravitazionale del tempo in laboratorio terrestre.

Applicazione: GPS

Il Global Positioning System è una verifica operativa continua della relatività generale dal 1995.

• Altitudine satelliti: ~20.200 km
• Velocità orbitale: ~14.000 km/h (due orbite/giorno)
• Effetto generale (gravità più debole in alto): +45 µs/giorno
• Effetto speciale (velocità orbitale): −7 µs/giorno
• Netto: orologi GPS in orbita corrono +38 µs/giorno più veloci di quelli terrestri

Senza correzione, l'errore di posizione cumulato sarebbe dell'ordine di 10-11 km al giorno. La correzione è progettata nel sistema: gli orologi a bordo dei satelliti sono regolati su una frequenza più lenta prima del lancio in modo da scorrere alla velocità "terrestre" una volta in orbita.

Anassimandro (c. 610-546 a.C.)

Filosofo greco di Mileto (Ionia, oggi Turchia), appartenente alla scuola milesia fondata da Talete. Le date di nascita e morte sono ricostruzioni storiografiche; le fonti antiche convergono su questo intervallo.

Anassimandro è la prima figura della tradizione occidentale di cui sopravvivono scritti propri (un solo frammento, conservato indirettamente attraverso Simplicio nel VI secolo d.C.). Le altre sue idee sono note attraverso testimonianze di Aristotele, Teofrasto e dossografi successivi.

Contributi documentati:

• Concetto di ἄπειρον (apeiron), "il senza limite" — principio originario di tutte le cose
• Prima carta geografica del mondo conosciuto attribuita alla tradizione antica
• Prima teoria cosmologica con la Terra non sostenuta da nulla
• Teoria embrionale delle origini delle specie animali (citata da Aezio)

L'intuizione della Terra non sostenuta

La cosmologia dominante nel VII-VI secolo a.C. (egiziana, mesopotamica, omerica) postulava una Terra piatta sostenuta da qualcosa: acqua, oceano, montagna, animale mitico, gigante.

Anassimandro propone un modello diverso: la Terra è un cilindro basso (alto circa un terzo del diametro), sospeso al centro di tutte le cose, senza alcun sostegno. La superficie abitata corrisponde al disco superiore del cilindro. La giustificazione, riportata da Aristotele in De Caelo (II, 13, 295b10), è geometrica: essendo equidistante in ogni direzione, non c'è motivo per cui debba cadere verso una direzione piuttosto che un'altra.

La conseguenza implicita è che il cielo continua sotto la Terra — il sole, dopo il tramonto, attraversa una regione sotterranea per riapparire all'alba. Una visione che precede di circa 2.000 anni la dimostrazione sperimentale della sfericità terrestre (circumnavigazioni del XV-XVI secolo).

Il libro di Rovelli (2011)

Nel libro Che cos'è la scienza. La rivoluzione di Anassimandro (Mondadori, 2011), Carlo Rovelli sostiene che Anassimandro inaugura il metodo scientifico nel senso moderno: formulare ipotesi razionali sulla struttura del mondo basate su argomenti che si possono criticare e sostituire, senza ricorrere a entità mitiche.

Per Rovelli, "il movimento intellettuale che porta da Talete a Galileo e oltre comincia con Anassimandro" — il primo a sostituire una spiegazione mitica con una argomentazione fisico-geometrica.

Einstein e gli esperimenti mentali (Gedankenexperimente)

Albert Einstein è noto per l'uso sistematico di Gedankenexperimente (esperimenti mentali) come strumento di ricerca teorica:

• Inseguire un raggio di luce (Einstein, Autobiographical Notes, 1949): Einstein racconta di aver immaginato, a 16 anni, di viaggiare alla velocità della luce e di interrogarsi su cosa vedrebbe. La riflessione su quel paradosso porta, oltre un decennio dopo, alla relatività speciale (1905).
• L'ascensore in caduta libera: una persona in un ascensore che cade liberamente non distingue localmente il proprio stato dall'assenza di gravità. È la base del principio di equivalenza tra massa inerziale e massa gravitazionale, fondamento della relatività generale.
• Il disco rotante: studiando la geometria su un disco che ruota a velocità relativistiche, Einstein conclude che lo spazio-tempo deve essere curvo, anticipando la formalizzazione tensoriale.

L'aforisma di Einstein "L'immaginazione è più importante della conoscenza" appare in un'intervista al Saturday Evening Post del 26 ottobre 1929 e successivamente in Cosmic Religion and Other Opinions and Aphorisms (1931).

Il fil rouge proposto da Rovelli

Rovelli articola la tesi del "capire prima di vedere" come pattern ricorrente nella storia della scienza: ipotesi formulate per via teorica prima che la tecnologia di misura sia in grado di confermarle direttamente.

Pensatore	Ipotesi formulata	Verifica sperimentale diretta
Anassimandro (VI sec. a.C.)	Terra sospesa nello spazio	Circumnavigazione (XV-XVI sec.) — divario ~2.000 anni
Copernico (1543)	La Terra orbita attorno al Sole	Osservazione diretta dell'orbita terrestre dallo spazio (Apollo 8, 1968) — divario ~425 anni
Einstein (1915)	Dilatazione gravitazionale del tempo	Pound-Rebka (1960, 22,5 m, ~45 anni); NIST (2010, 33 cm)

Origine e trasmissione del frammento

Anassimandro (c. 610-546 a.C.) è la prima figura della tradizione greca di cui è documentato uno scritto in prosa. Di quel testo non esistono manoscritti diretti: tutta la conoscenza testuale di Anassimandro passa attraverso citazioni indirette in autori successivi.

Il frammento principale è trasmesso da Simplicio di Cilicia (c. 490-560 d.C.), filosofo neoplatonico e commentatore di Aristotele, nel suo In Aristotelis Physicorum Libros Commentaria (24, 13-25). La catena di trasmissione passa attraverso Teofrasto (~371-287 a.C.), allievo di Aristotele, da cui Simplicio attinge.

Il frammento è catalogato come DK 12 B 1 nella raccolta canonica dei presocratici: Hermann Diels, Die Fragmente der Vorsokratiker, prima edizione 1903, riveduta da Walther Kranz nel 1952 (citata in forma abbreviata "Diels-Kranz" o "DK").

Il testo greco

Estratto da Simplicio, In Phys. 24, 13-25:

"…ἐξ ὧν δὲ ἡ γένεσίς ἐστι τοῖς οὖσι, καὶ τὴν φθορὰν εἰς ταῦτα γίνεσθαι κατὰ τὸ χρεών· διδόναι γὰρ αὐτὰ δίκην καὶ τίσιν ἀλλήλοις τῆς ἀδικίας κατὰ τὴν τοῦ χρόνου τάξιν…"

Problemi filologici

Tre questioni testuali aperte da oltre due secoli di dibattito accademico:

1. Confine tra parafrasi e citazione letterale. Il testo di Simplicio è in oratio obliqua (discorso indiretto). Il greco antico non usa virgolette: non è univocamente determinato dove finisca la parafrasi di Simplicio e dove inizi la citazione diretta di Anassimandro. La porzione considerata "sicuramente anassimandrea" dalla maggior parte degli studiosi è la formula finale κατὰ τὴν τοῦ χρόνου τάξιν ("secondo l'ordine del tempo").

2. Variante manoscritta su ἀλλήλοις. La parola ἀλλήλοις ("tra loro / l'uno all'altro") è presente nei manoscritti principali ma assente in alcuni minori. Filologicamente significativa: la sua presenza dà al frammento il tono di reciprocità (le cose si rendono giustizia a vicenda).

3. Traduzione contestata. Il frammento è uno dei testi più dibattuti della filosofia presocratica. Esistono decine di traduzioni moderne con sfumature di significato diverse. Una panoramica storiografica delle traduzioni: Dirk L. Couprie, "Two Centuries of Translating the Anaximander Fragment" (rassegna delle versioni dal 1802 a oggi).

Traduzioni a confronto

Traduzione accademica standard (inglese, Charles H. Kahn 1960):

"Whence things have their origin, there their destruction happens as it is ordained. For they give justice and reparation to one another for their injustice according to the ordering of time."

Traduzione italiana di Carlo Rovelli (in L'ordine del tempo, 2017):

"Le cose si trasformano l'una nell'altra secondo necessità, e si rendono giustizia secondo l'ordine del tempo."

La resa di Rovelli è una traduzione interpretativa: dove la versione standard mantiene la struttura "origine → distruzione" (γένεσις → φθορά), Rovelli compatta in "trasformazione reciproca". La formula finale κατὰ τὴν τοῦ χρόνου τάξιν ("secondo l'ordine del tempo") è invece resa fedelmente — ed è da questa formula che Rovelli trae il titolo del libro.

Connessione al libro di Rovelli

Il titolo L'ordine del tempo (Adelphi, 2017) deriva direttamente dalla formula finale del frammento. Rovelli aveva precedentemente dedicato un volume monografico ad Anassimandro: Che cos'è la scienza. La rivoluzione di Anassimandro (Mondadori Università, 2011), in cui sostiene che Anassimandro inaugura il metodo scientifico nel senso moderno.

Definizione formale

In relatività, il tempo proprio è il tempo misurato da un orologio che segue una linea d'universo (linea d'universo) di tipo tempo nello spazio-tempo. Si indica con la lettera greca τ (tau) per distinguerlo dal tempo coordinato t di un sistema di riferimento esterno.

Definizione standard:

"Proper time along a timelike linea d'universo is defined as the time as measured by a clock following that line."

Matematicamente, τ è l'integrale di linea della metrica lungo la linea d'universo. In relatività speciale (metrica di Minkowski), per due eventi separati da intervalli dt, dx, dy, dz:

dτ² = dt² − (dx² + dy² + dz²)/c²

Le tre proprietà fondamentali

1. Personale. Ogni osservatore ha il suo tempo proprio τ. Non esiste un τ universale: esistono τ_osservatore-A, τ_osservatore-B, τ_atomo-di-cesio, τ_satellite-GPS-numero-N.

2. Invariante di Lorentz. Il valore di τ tra due eventi è indipendente dal sistema di riferimento usato per descriverlo. È uno scalare di Lorentz — una proprietà geometrica della linea d'universo.

3. Path-dependent. Se due osservatori partono dallo stesso evento e si rincontrano in un altro evento, ma hanno seguito percorsi diversi nello spazio-tempo, i loro τ sono diversi. Questa è la base geometrica del paradosso dei gemelli.

Le due cause della divergenza

Due tempi propri inizialmente uguali divergono per due effetti fisicamente distinti, spesso sovrapposti:

Effetto cinematico (relatività speciale)

• Causa: moto relativo tra osservatori
• Formula: τ_in-moto = τ_a-riposo / γ, dove γ = 1/√(1−v²/c²) è il fattore di Lorentz
• Esempio numerico: a v = 0,5c, γ ≈ 1,155 → l'orologio in moto accumula circa 13,4% di tempo in meno rispetto a un orologio a riposo

Effetto gravitazionale (relatività generale)

• Causa: posizione in un campo gravitazionale
• Formula (per campi a simmetria sferica, metrica di Schwarzschild esterna): τ_vicino-massa = τ_lontano-massa × √(1 − 2GM/(rc²))
• Esempio numerico: sulla superficie terrestre rispetto a un osservatore all'infinito, la dilatazione è di circa 7×10⁻¹⁰ (~0,02 secondi in meno all'anno sulla superficie terrestre rispetto a "all'infinito"). In prossimità del raggio di Schwarzschild di un buco nero, il rapporto tende a zero (tempo proprio congelato dal punto di vista dell'osservatore lontano).

Asimmetria SR vs GR

• In relatività speciale, la dilatazione cinematica è simmetrica: dal sistema di A, l'orologio di B rallenta, e viceversa. L'asimmetria del paradosso dei gemelli emerge solo quando uno dei due cambia sistema inerziale (accelerazione).
• In relatività generale, la dilatazione gravitazionale è asimmetrica: chi è in basso (campo più intenso) ha un tempo proprio sempre più lento di chi è in alto. Entrambi gli osservatori concordano su chi va più piano.

Esperimenti di misura del tempo proprio

I tempi propri sono stati misurati in numerosi esperimenti:

• Pound-Rebka (1959-1960) — gravitational redshift su 22,5 m alla torre Jefferson di Harvard, accuratezza ~10%
• Hafele-Keating (1971) — orologi atomici al cesio su voli intercontinentali, differenze fino a 273 ns
• NIST (Boulder, 2010) — orologi ottici a singolo ione di alluminio a 33 cm di dislivello e velocità di 10 m/s
• GPS (operativo dal 1995) — i satelliti registrano tempi propri che differiscono di +38 µs/giorno rispetto a terra; la correzione è incorporata nel sistema

Per ciascuno, l'effetto previsto dalla relatività è stato misurato in accordo con la teoria entro l'errore sperimentale.

Distinzione: tempo proprio vs tempo soggettivo

Il tempo proprio (concetto fisico relativistico) è distinto dal tempo soggettivo (concetto neuroscientifico, time perception o chronoception):

	Tempo proprio (fisica)	Tempo soggettivo (neuroscienza)
Cosa misura	Durata lungo una linea d'universo	Percezione mentale del passare del tempo
Disciplina	Relatività generale	Neuroscienze, psicologia
Strumento	Orologio fisico	Esperienza cosciente
Determinanti	Velocità + campo gravitazionale	Attenzione, emozione, età, attività

A livello neurologico, il cervello non ha un singolo organo dedicato alla percezione del tempo: il fenomeno è generato in modo distribuito attraverso corteccia prefrontale, cervelletto, gangli della base e striato (Wittmann, The Inner Sense of Time, 2014).

La distinzione è esplicita in letteratura accademica: Gruber, Wagner & Block, "Subjective Time Versus Proper (Clock) Time", in R. Buccheri et al. (eds.), Studies on the Structure of Time (Springer, 2000).

Il ruolo del tempo proprio nel libro di Rovelli

Nel capitolo 1 del libro L'ordine del tempo, Rovelli scrive:

"Le equazioni di Einstein non hanno un t né un'unica quantità di tempo… La fisica non descrive come evolvono le cose nel tempo, bensì come evolvono le cose nei loro tempi e come evolvono i tempi l'uno rispetto all'altro."

— Carlo Rovelli, L'ordine del tempo (Adelphi, 2017)

Il passaggio sintetizza la transizione dalla concezione newtoniana del tempo coordinato unico (t) a quella einsteiniana basata su una molteplicità di tempi propri (τ), uno per ogni linea d'universo.

Definizione di T-invarianza

Una legge fisica è T-invariante (o "simmetrica nel tempo") se rimane vera sostituendo t con −t nelle equazioni. Operativamente: filmando un fenomeno fisico e riproducendo il filmato al contrario, il filmato invertito rispetta le stesse leggi del filmato dritto.

Le leggi T-invarianti

Quasi tutte le leggi fondamentali della fisica classica e quantistica sono T-invarianti:

• Leggi di Newton (F = m · a): T-invarianti. Una palla in caduta libera, filmata al contrario, sale verso l'alto rispettando comunque F = m · a (con la stessa traiettoria parabolica percorsa nel verso opposto).
• Equazioni di Maxwell (elettromagnetismo classico): T-invarianti (sotto opportuna trasformazione dei campi).
• Equazioni di Einstein (relatività generale): T-invarianti.
• Equazione di Schrödinger (meccanica quantistica non relativistica): T-invariante (sotto coniugazione complessa).

A livello delle equazioni fondamentali, passato e futuro sono indistinguibili.

L'unica eccezione macroscopica: il secondo principio

Il secondo principio della termodinamica (ΔS ≥ 0 in un sistema isolato) è la sola legge della fisica fondamentale che è asimmetrica nel tempo a livello macroscopico osservabile. È l'origine della freccia del tempo che percepiamo.

L'asimmetria sub-nucleare: CP-violation

Una piccolissima asimmetria temporale esiste nelle interazioni deboli, scoperta indirettamente attraverso la violazione di CP (simmetria combinata Carica-Parità).

• 1964: James Cronin e Val Fitch scoprono la violazione di CP nel decadimento dei kaoni neutri (mesoni K⁰_L). Pubblicazione: Christenson, J. H., Cronin, J. W., Fitch, V. L., Turlay, R. (1964). "Evidence for the 2π Decay of the K⁰_2 Meson". Physical Review Letters, 13(4), 138-140. Premio Nobel per la Fisica 1980.
• Teorema CPT (Pauli, Lüders, 1954-1957): la teoria quantistica dei campi locale e Lorentz-invariante deve essere simmetrica rispetto alla combinazione delle tre trasformazioni C (carica), P (parità), T (tempo). Una violazione di CP implica quindi una violazione di T.

L'asimmetria T derivata dalla CP-violation è quantitativamente piccola (ordine di 10⁻³ nel sistema dei kaoni) e non è rilevante per la freccia del tempo macroscopica osservata in termodinamica.

Esempio elementare di T-invarianza: moto rettilineo uniforme

Una palla nello spazio profondo, soggetta solo a F = m · a (forza nulla, accelerazione nulla), si muove a velocità costante in linea retta. Filmando il moto e proiettando il filmato al contrario, l'equazione vale identica. Conoscendo posizione e velocità in un istante qualsiasi, è possibile calcolare la posizione in qualunque altro istante, passato o futuro, dalle stesse equazioni.

Le equazioni della meccanica classica descrivono correlazioni geometriche tra posizioni successive, non rapporti causali asimmetrici. La direzione "causa → effetto" è attribuita dall'osservatore in base al gradiente entropico, non imposta dalle equazioni.

Bertrand Russell (1872-1970)

Filosofo, matematico e logico britannico. Co-autore con Alfred North Whitehead dei Principia Mathematica (1910-1913), trattato fondazionale della logica matematica. Premio Nobel per la Letteratura nel 1950 "in riconoscimento dei suoi scritti vari e significativi". Autore di centinaia di saggi e libri su logica, filosofia, politica, etica.

Il saggio del 1913

Nel 1913 Russell pronuncia il discorso presidenziale alla Aristotelian Society di Londra, intitolato "On the Notion of Cause". Il testo è pubblicato nello stesso anno: Russell, B. (1913). "On the Notion of Cause". Proceedings of the Aristotelian Society, 13, 1-26. Successivamente raccolto in Mysticism and Logic and Other Essays (Longmans, Green & Co., 1917).

La frase più nota

"The law of causality, I believe, like much that passes muster among philosophers, is a relic of a bygone age, surviving, like the monarchy, only because it is erroneously supposed to do no harm."

— Bertrand Russell, On the Notion of Cause (1913)

Traduzione: "La legge di causalità, credo, come molto di ciò che passa per accettabile tra i filosofi, è un residuo di un'epoca passata, sopravvissuto, come la monarchia, solo perché si suppone erroneamente che non faccia danno."

L'argomento di Russell

Russell osserva che le leggi della fisica matematizzata (lui ha in mente in particolare Newton e Maxwell) descrivono correlazioni funzionali tra grandezze:

• F = m · a non dice "la forza causa l'accelerazione" o "l'accelerazione causa la forza"; dice che le due grandezze sono in proporzione costante (data la massa).
• Le equazioni di Maxwell legano campi elettrici e magnetici simmetricamente; nessuna direzione "causa → effetto" è privilegiata.

Per Russell, la nozione di causa è una convenzione prescientifica che la fisica moderna non utilizza nei suoi calcoli. La causalità è una categoria del linguaggio quotidiano, non una struttura della natura.

La ripresa di Rovelli

Rovelli, nel Capitolo 11 del libro L'ordine del tempo, sviluppa l'argomento in due passi:

1. Conferma estesa: oltre cento anni dopo Russell, le leggi fondamentali (relatività generale 1915, meccanica quantistica 1925-1928, teoria quantistica dei campi) restano simmetriche nel tempo. La causalità non emerge dalle leggi.

2. Origine termodinamica: Rovelli aggiunge una spiegazione termodinamica. La direzione "causa → effetto" emerge dal secondo principio della termodinamica. Chiamiamo "causa" l'evento a minore entropia di una correlazione, "effetto" quello a maggiore entropia. È una proprietà statistica e prospettica, non una categoria fondamentale della natura.

Sintesi della posizione Rovelli + Russell: la causalità è reale come fenomeno macroscopico, ma non è scritta nelle leggi della fisica — emerge dalla configurazione termodinamica dell'universo (Past Hypothesis + crescita dell'entropia).

Biografia (1796-1832)

Nicolas Léonard Sadi Carnot nasce il 1° giugno 1796 a Parigi. Muore di colera il 24 agosto 1832, durante l'epidemia parigina, all'età di 36 anni.

Padre: Lazare Carnot (1753-1823), matematico, generale e politico della Rivoluzione francese, soprannominato "l'Organizzatore della Vittoria". Lazare attribuisce al figlio il nome "Sadi" in onore del poeta persiano Saʿdī di Shiraz (1210-1291).

Formazione:

• École Polytechnique (1812-1814), Parigi
• École du Génie (École d'Application de l'Artillerie et du Génie), Metz
• Ufficiale del Corpo del Genio dell'esercito francese

Réflexions sur la puissance motrice du feu (1824)

A 28 anni Carnot pubblica a Parigi il suo unico libro: "Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance" (Bachelier, 1824). 118 pagine.

La cornice teorica: la teoria del calorico

Carnot lavora dentro la teoria del calorico, paradigma dominante dell'epoca (precedente alla rivoluzione di Joule, 1840s, e alla cinetica molecolare di Boltzmann). Secondo questa teoria, il calore è un fluido imponderabile (il calorico) che fluisce dai corpi caldi a quelli freddi. L'analogia operativa: una macchina termica funziona come una ruota idraulica, estraendo lavoro dalla "caduta" del calorico da un serbatoio caldo a uno freddo.

Il teorema di Carnot

All'interno della teoria del calorico, Carnot dimostra un risultato che resta valido anche nella termodinamica moderna: l'efficienza massima di una macchina termica reversibile dipende esclusivamente dalle temperature del serbatoio caldo e del serbatoio freddo, ed è indipendente dalla sostanza di lavoro.

Per due serbatoi a temperature assolute T_caldo e T_freddo, l'efficienza ideale (massima) è:

η = 1 − T_freddo / T_caldo

Questo è il teorema di Carnot, uno dei fondamenti della termodinamica.

Morte e trasmissione dell'opera

Carnot muore di colera nell'agosto 1832. Per via delle norme sanitarie sull'epidemia, gran parte dei suoi manoscritti e oggetti personali viene sepolta con lui. Alcuni quaderni sopravvivono grazie all'ingegnere Émile Clapeyron, che nel 1834 pubblica "Mémoire sur la puissance motrice de la chaleur" — una rielaborazione e divulgazione del lavoro di Carnot.

L'opera resta marginale fino agli anni 1840-1850, quando viene riscoperta da William Thomson (Lord Kelvin) e Rudolf Clausius, che la integrano nella formulazione moderna della termodinamica.

Biografia (1822-1888)

Rudolf Julius Emanuel Clausius nasce il 2 gennaio 1822 a Köslin, Pomerania (oggi Koszalin, Polonia). Muore il 24 agosto 1888 a Bonn, Germania.

Formazione e carriera accademica:

• Università di Berlino (dottorato a Halle, 1847)
• Cattedre successive: Berlino, Zurigo (Politecnico Federale), Würzburg, Bonn (dal 1869 fino alla morte)

La formulazione della Seconda Legge

Clausius riformula l'opera di Sadi Carnot abbandonando la teoria del calorico, sulla base del lavoro sperimentale di Joule sull'equivalenza calore-lavoro.

Pubblicazioni chiave:

• 1850: "Über die bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze, welche sich daraus für die Wärmelehre selbst ableiten lassen". Annalen der Physik, 79, 368-397, 500-524. Prima esposizione completa della teoria meccanica del calore.
• 1854: "Über eine veränderte Form des zweiten Hauptsatzes der mechanischen Wärmetheorie". Annalen der Physik, 93. Formula la Seconda Legge in una forma poi diventata canonica.

Enunciato di Clausius (1854):

"Wärme kann nie von selbst aus einem kälteren in einen wärmeren Körper übergehen."

Il calore non può passare spontaneamente da un corpo più freddo a un corpo più caldo.

Il termine "entropia" (1865)

Nel articolo del 24 aprile 1865, "Über verschiedene für die Anwendung bequeme Formen der Hauptgleichungen der mechanischen Wärmetheorie" (Annalen der Physik, 125), Clausius introduce il termine Entropie (entropia), derivato dal greco antico τροπή (tropḗ), "trasformazione, conversione".

Motivazione della scelta lessicale (Clausius, 1865):

"Ho scelto la parola 'entropia' perché ricorda la parola 'energia' per assonanza, dato che le due grandezze sono così connesse nella loro importanza fisica che mi sembrava opportuno dare loro nomi simili."

Nello stesso articolo, Clausius riassume i due principi della termodinamica in due frasi:

"Die Energie der Welt ist konstant. Die Entropie der Welt strebt einem Maximum zu."

L'energia dell'universo è costante. L'entropia dell'universo tende a un massimo.

Significato fisico e freccia del tempo

Tra le leggi fondamentali della fisica classica (Newton, Maxwell) e moderna (Schrödinger, Einstein), la Seconda Legge della termodinamica è l'unica che distingue intrinsecamente il passato dal futuro: l'entropia di un sistema isolato non decresce mai (ΔS ≥ 0).

Carlo Rovelli identifica questo come l'unico ingrediente fondamentale della freccia del tempo nella fisica.

Biografia (1844-1906)

Ludwig Eduard Boltzmann nasce il 20 febbraio 1844 a Vienna, nel sobborgo di Erdberg. Padre funzionario imperiale delle imposte; madre originaria di Salisburgo. Muore il 5 settembre 1906 a Duino (vicino a Trieste, allora parte dell'Impero Austro-Ungarico), per suicidio.

Formazione e carriera:

• Università di Vienna (dottorato 1866, sotto la supervisione di Josef Stefan — il fisico della legge di Stefan-Boltzmann sulla radiazione di corpo nero)
• Professore ordinario di Fisica Matematica all'Università di Graz a 25 anni (1869)
• Carriera accademica successivamente a Vienna, Monaco, Lipsia, di nuovo Vienna

Contributi scientifici principali

1. Equazione di Boltzmann (1872): equazione integro-differenziale che descrive l'evoluzione temporale della funzione di distribuzione delle velocità in un gas di molecole interagenti.

2. Teorema H (1872): sotto l'ipotesi del Stosszahlansatz ("ipotesi del caos molecolare", indipendenza statistica delle velocità prima delle collisioni), Boltzmann dimostra che una quantità H non cresce mai. Identificata in seguito con −S/k.

3. Distribuzione di Maxwell-Boltzmann: descrive statisticamente le velocità molecolari a una data temperatura.

4. Interpretazione statistica dell'entropia (1877): l'entropia di un macrostato è proporzionale al logaritmo del numero di microstati compatibili con esso. Formula incisa sulla sua tomba: S = k log W.

Opposizione anti-atomista

Per gran parte della sua carriera Boltzmann è in conflitto intellettuale con due figure dominanti del positivismo scientifico:

• Ernst Mach (1838-1916), fisico e filosofo austriaco
• Wilhelm Ostwald (1853-1932), chimico tedesco, Premio Nobel per la Chimica 1909

Entrambi rifiutano la realtà fisica degli atomi sulla base del principio positivista che la scienza debba trattare solo di osservabili diretti. Boltzmann difende la realtà degli atomi come ipotesi inferenziale sostenuta dai successi predittivi della meccanica statistica.

Morte e conferma postuma dell'atomismo

Boltzmann si toglie la vita il 5 settembre 1906, durante una vacanza a Duino, in un periodo di depressione cronica. Le cause sono state attribuite a molteplici fattori personali e professionali; la storiografia non identifica un evento unico scatenante.

Negli anni immediatamente successivi alla sua morte, l'esistenza degli atomi è confermata sperimentalmente:

• 1905: Albert Einstein pubblica l'articolo sul moto browniano (Annalen der Physik, 17), fornendo una base teorica statistica per la verifica dell'esistenza atomica
• 1908-1909: Jean Perrin conduce esperimenti sui colloidi (Annales de Chimie et de Physique, 1909) che confermano sperimentalmente le predizioni di Einstein-Boltzmann

Ostwald e Mach modificano successivamente le proprie posizioni. Perrin riceve il Premio Nobel per la Fisica nel 1926.

La tomba a Vienna

Boltzmann è sepolto al Zentralfriedhof di Vienna (Gruppe 14C, n. 1), tomba d'onore della città. Negli anni '30 la tomba viene ornata da un busto in marmo. Sulla parte alta è incisa la formula:

S = k · log W

Genesi storica della formula

La paternità è distribuita:

• Boltzmann 1877: nell'articolo "Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze des mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung" (Sitzungsberichte Akademie der Wissenschaften Wien, 76, 373-435), Boltzmann formalizza l'idea che l'entropia di un macrostato è proporzionale al logaritmo del numero di microstati possibili. La costante di proporzionalità nella sua notazione è R/N (R: costante dei gas; N: numero di Avogadro).
• Planck 1900-1901: nei lavori sulla radiazione di corpo nero, Max Planck riscrive la relazione nella forma compatta S = k log W e introduce il simbolo k come "costante di Boltzmann". Pubblicazione: Planck, M. (1901). "Über das Gesetz der Energieverteilung im Normalspektrum". Annalen der Physik, 4, 553-563.

Significato dei termini

• S: entropia (in J/K), la stessa grandezza definita da Clausius (1865)
• k: costante di Boltzmann, k = 1,380649 × 10⁻²³ J/K. Dal 20 maggio 2019, in seguito alla ridefinizione del Sistema Internazionale (SI), k è una costante esatta per definizione, analogamente alla velocità della luce.
• W: numero di microstati distinti compatibili con il macrostato osservato
• log: logaritmo naturale (base e). La scelta del logaritmo è necessaria per garantire l'additività dell'entropia: per due sistemi indipendenti, l'entropia totale è la somma delle entropie individuali, condizione equivalente a log(W₁·W₂) = log W₁ + log W₂.

Esempio numerico didattico

Quattro molecole in quattro posizioni, due calde + due fredde:

• Macrostato "calde a sinistra, fredde a destra" → W = 1 → S = k · ln(1) = 0
• Macrostato "tiepido uniforme" (le calde e le fredde sono mescolate) → W = 6 (combinazioni C(4,2)) → S = k · ln(6) ≈ 1,79 · k

In sistemi reali (numeri di Avogadro di particelle), W è un numero astronomico e l'entropia cresce di valori cospicui durante i processi di mescolamento.

La tomba di Boltzmann

La formula è incisa sulla tomba di Boltzmann al Zentralfriedhof di Vienna (Gruppe 14C, n. 1). Il busto e l'iscrizione furono installati negli anni 1930, decenni dopo la morte di Boltzmann (1906).

Il problema

Se l'entropia di un sistema isolato non decresce mai, allora andando a ritroso nel tempo l'entropia dell'universo era progressivamente più bassa. Al Big Bang (~13,8 miliardi di anni fa), l'entropia era ordini di grandezza inferiore a quella odierna — uno stato altamente ordinato e statisticamente improbabile.

Domanda aperta: perché l'universo è iniziato in uno stato così particolare?

Il nome "Past Hypothesis"

Il termine Past Hypothesis è introdotto dal filosofo della fisica David Z. Albert nel libro Time and Chance (Harvard University Press, 2000), Capitolo 4. Albert formalizza un'idea già implicita in Boltzmann: per derivare la crescita dell'entropia in un sistema cosmologico, è necessario postulare la bassa entropia iniziale come condizione al contorno indipendente dalla dinamica.

Il calcolo di Penrose

Roger Penrose (Premio Nobel per la Fisica 2020) stima la probabilità di un universo con entropia iniziale così bassa come quella effettivamente osservata. Nel libro The Emperor's New Mind (Oxford University Press, 1989), Capitolo 7, Penrose ottiene:

P ≈ 1 in 10^(10^123)

dove 10^123 è il rapporto tra l'entropia massima dell'universo osservabile (stimata via limiti di Bekenstein-Hawking per buchi neri) e l'entropia osservata. L'esponente doppio è ottenuto tramite la formula S = k log W invertita.

Per ordine di grandezza: 10^123 ha 123 zeri in notazione decimale; 10^(10^123) ha 10^123 zeri — un numero che supera ogni magnitudine fisicamente concepibile.

Tre proposte di spiegazione

1. Inflazione cosmica (Guth, 1981). Nell'articolo "Inflationary universe: A possible solution to the horizon and flatness problems" (Physical Review D, 23, gennaio 1981), Alan Guth propone una fase di espansione esponenziale dell'universo nei primissimi ~10⁻³⁶ s dopo il Big Bang. La diluizione effettiva dell'entropia spiega l'omogeneità osservata. Critica: l'inflazione richiede a sua volta condizioni iniziali fini per innescarsi — sposta il problema senza eliminarlo.

2. Principio antropico. Solo gli universi con bassa entropia iniziale producono osservatori complessi. La selezione di osservatori è automatica: chi può porre la domanda si trova necessariamente in un universo "fortunato". Critica: spiegazione tautologica per molti fisici.

3. Proposta di Rovelli (2019). Nell'articolo "Where Was Past Low-Entropy?" (Entropy, 21(5), 466), Rovelli propone che la bassa entropia del passato sia una caratteristica del sottosistema osservato (l'angolo dell'universo che contiene noi) e della prospettiva di sfocatura adottata, non una proprietà oggettiva dell'universo intero. La direzione del gradiente entropico sarebbe quindi dipendente dall'osservatore.

Status del problema

Nessuna delle tre proposte è accettata come definitiva dalla comunità fisica. La Past Hypothesis resta un problema aperto nell'intersezione tra cosmologia, fisica statistica e filosofia della fisica.

I numeri del bilancio

Per ogni secondo, ai confini dell'atmosfera terrestre:

• Fotoni in entrata dal Sole: ordine di 10³⁶ al secondo, alta energia (lunghezza d'onda corta, picco nel visibile-verde).
• Fotoni in uscita dalla Terra: ordine di 2 × 10³⁷ al secondo (circa 20 volte di più), bassa energia (lunghezza d'onda lunga, infrarossi termici).

L'energia totale in entrata uguaglia l'energia totale in uscita (a meno di variazioni climatiche di lungo periodo): la Terra è in equilibrio termico radiativo con lo spazio. La temperatura media superficiale resta stabile su scale di milioni di anni.

Le temperature in gioco

• Fotosfera del Sole: temperatura efficace ≈ 5.778 K (~5.500 °C).
• Nucleo del Sole: ~15 milioni di K (regione della fusione nucleare).
• Temperatura media superficiale terrestre: ~288 K (≈ 15 °C).

La legge di Wien

I fotoni emessi da un corpo nero a temperatura T hanno una distribuzione di lunghezze d'onda con picco a:

λ_max · T = 2,898 × 10⁻³ m·K

(Wilhelm Wien, 1893, Premio Nobel per la Fisica 1911.)

• Sole (~5.778 K): λ_max ≈ 500 nm → luce visibile (verde-giallo), con coda nell'infrarosso e nell'ultravioletto.
• Terra (~288 K): λ_max ≈ 10 µm → infrarosso termico.

Il rapporto delle temperature (5.778 / 288 ≈ 20) determina che un fotone solare medio ha circa 20 volte l'energia di un fotone terrestre medio. Per restituire la stessa energia ricevuta, la Terra emette circa 20 volte più fotoni.

Distribuzione spettrale dell'energia solare in arrivo

La radiazione solare al limite dell'atmosfera ha la seguente ripartizione approssimata:

• Infrarosso (vicino e medio): ~50%
• Visibile: ~43%
• Ultravioletto: ~7%

Valori indicativi; variano con altitudine e angolo zenitale del Sole.

Conseguenza per l'entropia

L'energia totale (in ingresso) ≈ energia totale (in uscita). Il numero di fotoni in uscita ≈ 20 × numero di fotoni in entrata. Dalla formula di Boltzmann S = k log W, ne segue che l'entropia in uscita è circa 20 volte maggiore di quella in entrata.

Questo "salto entropico" è il flusso di bassa entropia che attraversa il sistema Terra ed è la sorgente termodinamica di tutti i processi atmosferici, geologici e biologici:

• Le piante intercettano fotoni ad alta energia (visibile) → fotosintesi → rilasciano energia in forma più dispersa (biomassa, ossigeno, calore).
• Gli animali consumano biomassa → metabolismo cellulare → rilascio di calore.
• L'oceano evapora, il vento soffia, le rocce si erodono — tutti processi alimentati dal gradiente entropico.

La Terra non vive di energia (il bilancio energetico è nullo). Vive di bassa entropia che fluisce attraverso il sistema.

I due principi della termodinamica

La termodinamica ha due leggi che si comportano in modo opposto rispetto alla direzione del tempo:

• Primo principio (conservazione dell'energia): l'energia di un sistema isolato non si crea né si distrugge, si trasforma soltanto. Forma standard: ΔU = Q − W (variazione di energia interna = calore assorbito meno lavoro compiuto). Il primo principio è simmetrico nel tempo: vale identico invertendo l'asse temporale.
• Secondo principio (crescita dell'entropia): l'entropia di un sistema isolato non può diminuire. Forma standard: ΔS ≥ 0. Il secondo principio distingue passato da futuro.

Tra le leggi fisiche fondamentali (Newton, Maxwell, Einstein, Schrödinger, Dirac), il secondo principio della termodinamica è l'unica legge che è asimmetrica nel tempo.

Definizione statistica dell'entropia

L'entropia S di un sistema misura il numero di microstati (configurazioni microscopiche delle particelle) compatibili con un dato macrostato (descrizione macroscopica del sistema, es. "un litro di gas a 20 °C").

La formula di Boltzmann

Ludwig Boltzmann (1844-1906) formalizza la definizione statistica dell'entropia nell'articolo del 1877 ("Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze des mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung", Sitzungsberichte der Akademie der Wissenschaften Wien, 76, 373-435). La forma compatta moderna è dovuta a Max Planck (1900-1901):

S = k · ln W

dove:

• S = entropia (in J/K)
• k = costante di Boltzmann ≈ 1,380649 × 10⁻²³ J/K (costante esatta per definizione dalla revisione del SI del 20 maggio 2019)
• W = numero di microstati compatibili con il macrostato osservato
• ln = logaritmo naturale (base e)

Il logaritmo è necessario per garantire l'additività dell'entropia tra sistemi indipendenti: S_totale = S₁ + S₂ corrisponde a ln(W₁ · W₂) = ln W₁ + ln W₂.

Significato fisico

• Bassa entropia: pochi microstati compatibili con il macrostato — sistema in configurazione macroscopicamente "ordinata" (es. gas concentrato in un angolo, calore localizzato).
• Alta entropia: molti microstati compatibili — sistema in configurazione macroscopicamente "disordinata" (es. gas uniformemente disperso, calore distribuito).

L'evoluzione spontanea procede da macrostati a bassa entropia (W piccolo) verso macrostati ad alta entropia (W grande), perché esistono molti più microstati nei macrostati ad alta entropia. È un argomento statistico, non causale.

La tomba di Boltzmann

La formula S = k log W è incisa sulla tomba di Boltzmann al Zentralfriedhof di Vienna (Gruppe 14C, n. 1). Il busto in marmo con l'iscrizione fu installato negli anni 1930, decenni dopo la morte di Boltzmann (1906) e il trasferimento delle ceneri al cimitero centrale viennese.

Il ruolo del secondo principio nella tesi di Rovelli

Nel Capitolo 11 Rovelli sostiene che tutta la "freccia del tempo" che noi viviamo emerge dal secondo principio della termodinamica combinato con la bassa entropia iniziale dell'universo (Past Hypothesis). Le leggi fondamentali della fisica sono simmetriche nel tempo; la freccia è una proprietà statistica/emergente legata alla configurazione iniziale dell'universo.

Definizione

Il coarse-graining (sfocatura) è la procedura di descrizione di un sistema fisico in termini di variabili macroscopiche medie, ignorando i dettagli microscopici. Tipiche variabili "sfocate": temperatura, pressione, densità, magnetizzazione totale.

Microstati vs macrostati

• Microstato: lo stato completo del sistema, specificato dalla posizione e dal momento di ogni particella (in meccanica classica) o dal vettore di stato (in meccanica quantistica).
• Macrostato: descrizione media tramite poche variabili termodinamiche (temperatura, volume, pressione).

Molti microstati distinti corrispondono allo stesso macrostato. Il numero di tali microstati si indica con W (dal tedesco Wahrscheinlichkeit, probabilità).

Connessione con il teorema H di Boltzmann

Nel articolo del 1872, Boltzmann deriva il teorema H facendo ricorso all'ipotesi del caos molecolare (Stosszahlansatz): le velocità di due molecole prima di una collisione sono assunte statisticamente indipendenti. Questa ipotesi è una scelta di sfocatura — si rinuncia a seguire le correlazioni microscopiche dettagliate per trattare gli urti come processi statistici medi.

Connessione con l'informazione di Shannon (1948)

Claude Shannon introduce nel 1948 il concetto di entropia informazionale (A Mathematical Theory of Communication, Bell System Technical Journal). La formula:

H = −Σ p_i log p_i

coincide strutturalmente con l'entropia di Boltzmann-Gibbs della meccanica statistica. Entrambe quantificano l'incertezza/ignoranza sui dettagli microscopici dato il macrostato osservato.

La posizione di Rovelli

Nell'articolo "Where Was Past Low-Entropy?" (Entropy, 21(5), 466, 2019) e nel libro L'ordine del tempo, Rovelli sostiene che il coarse-graining non è un artefatto della descrizione umana sovrapposto a una realtà "oggettiva", ma una caratteristica costitutiva del rapporto tra osservatore e sistema. Senza sfocatura non esisterebbe la distinzione tra microstati e macrostati, e quindi nemmeno il concetto di entropia.

Il quesito di Schrödinger

Nel febbraio 1943, Erwin Schrödinger tiene una serie di conferenze al Trinity College di Dublino. Le pubblica nel 1944 come "What Is Life? The Physical Aspect of the Living Cell" (Cambridge University Press, 90 pagine).

Il quesito di fondo: come fanno gli organismi viventi a evitare il decadimento verso l'equilibrio termodinamico (= morte termica), cioè a mantenere strutture ordinate in un universo che evolve verso entropia massima?

La risposta: i sistemi aperti

Schrödinger osserva che gli organismi viventi sono sistemi aperti: scambiano materia ed energia con l'ambiente. Per mantenere bassa entropia interna, importano energia organizzata (cibo, luce solare) ed esportano entropia (calore disperso, scarti metabolici). Il bilancio totale (organismo + ambiente) rispetta la Seconda Legge: l'entropia globale cresce; quella locale dell'organismo si mantiene.

Schrödinger usa il termine "negative entropy" per descrivere il flusso di ordine importato. Il termine è retoricamente efficace ma tecnicamente impreciso: Schrödinger stesso, in note aggiunte alle edizioni successive, ammette che "energia libera" sarebbe stato più corretto. Il fisico Léon Brillouin introduce nel 1953 il termine sintetico "negentropy" (Science and Information Theory, Academic Press, 1956).

Sviluppo: Prigogine e i sistemi dissipativi

Ilya Prigogine (1917-2003), chimico-fisico belga di origini russe, sviluppa la termodinamica del non-equilibrio. Introduce il concetto di strutture dissipative — sistemi macroscopicamente ordinati che si auto-organizzano lontano dall'equilibrio termodinamico tramite scambio continuo di materia ed energia.

Prigogine riceve il Premio Nobel per la Chimica nel 1977 "per i suoi contributi alla termodinamica del non-equilibrio, in particolare per la teoria delle strutture dissipative".

Esempi di sistemi dissipativi

• Cellula di Bénard: in un fluido riscaldato dal basso, si formano celle convettive organizzate a partire da uno stato disordinato.
• Tornado: struttura organizzata mantenuta dal flusso di energia atmosferica.
• Reazione di Belousov-Zhabotinsky: oscillazioni chimiche periodiche.
• Organismi viventi: la struttura corporea è mantenuta dal metabolismo cellulare.

Relazione con la Seconda Legge

Gli organismi viventi non violano la Seconda Legge della termodinamica. La rispettano: l'entropia dell'organismo + ambiente cresce sempre. Localmente, l'organismo è una "sacca" di bassa entropia mantenuta attivamente attraverso lavoro metabolico.

Le proprietà del tempo perdute, capitolo per capitolo

Capitolo	Proprietà perduta	Argomento fisico
1 — La perdita dell'unicità	Un solo tempo per tutto	Relatività generale: il tempo scorre più veloce in montagna che in pianura.
2 — La perdita della direzione	Una freccia preferita passato → futuro	Termodinamica statistica: la freccia del tempo emerge dalla crescita dell'entropia e dalla sfocatura macroscopica.
4 — La fine del presente	Un "adesso" universale	Relatività speciale: nessun istante "presente" comune per eventi spazialmente separati; esiste solo un "presente esteso".
5 — La perdita dell'indipendenza	Tempo e spazio come palco indipendente	Relatività generale: tempo e spazio sono il campo gravitazionale, una sostanza fisica che si deforma con la materia.
6 — La perdita della continuità e dell'oggettività	Continuità e valori definiti	Meccanica quantistica + gravità quantistica: il tempo è granulare, in sovrapposizione, relazionale.

La frase di chiusura della Parte 1

Rovelli, L'ordine del tempo, fine della Parte 1:

"Il tempo non è unico. C'è una durata diversa per ogni traiettoria. Passa a ritmi diversi secondo il luogo e secondo la velocità. Non è orientato. La differenza fra passato e futuro non c'è nelle equazioni elementari del mondo. La nozione di presente non funziona. Nel vasto universo non c'è nulla che possiamo ragionevolmente chiamare presente. Il sostrato che determina le durate del tempo non è un'entità indipendente. È un aspetto di un campo dinamico. Questo salta, fluttua, si concretizza solo interagendo e non è definito al di sotto di una scala minima."

— Carlo Rovelli, L'ordine del tempo (Adelphi, 2017)

Cosa resta del tempo

"Cosa resta del tempo? Meglio che getti a mare l'orologio che hai al polso e cerchi di capire che il tempo che vuole catturare non è altro che il movimento delle sue lancette. Entriamo nel mondo senza tempo."

— Carlo Rovelli, L'ordine del tempo

Con questa transizione si apre la Parte 2 del libro, intitolata "Il mondo senza tempo", in cui Rovelli ricostruisce una nozione diversa di tempo, basata su una rete di interazioni quantistiche e su correlazioni statistiche.

Aurelio Agostino (354-430 d.C.)

Filosofo e teologo cristiano, nato a Tagaste (oggi Souk Ahras, Algeria), figlio di Patricio (pagano) e Monica (cristiana). Vescovo di Ippona Regia (oggi Annaba, Algeria) dal 395 fino alla morte nel 430 d.C. Padre della Chiesa latina, autore di un corpus filosofico-teologico tra i più estesi dell'antichità tardiva.

Opere principali:

• Confessioni (Confessiones, ~397-400 d.C.) — 13 libri di autobiografia spirituale e riflessione filosofica.
• La Città di Dio (De Civitate Dei, 413-426 d.C.) — 22 libri sulla filosofia della storia e teologia politica.
• Sulla Trinità (De Trinitate, 399-419 d.C.) — 15 libri di teologia trinitaria.

Le Confessioni e il Libro XI

Le Confessioni hanno una struttura asimmetrica: i Libri I-IX sono autobiografici (dall'infanzia alla conversione al cristianesimo e alla morte della madre Monica nel 387 d.C.); i Libri X-XIII sono filosofici e teologici. Il Libro XI è dedicato all'analisi della natura del tempo, motivato dall'esegesi del passo di Genesi 1, 1 ("In principio Dio creò il cielo e la terra").

L'enigma del tempo

Agostino formula la sua domanda celebre:

"Quid est ergo tempus? Si nemo a me quaerat, scio; si quaerenti explicare velim, nescio."

— Agostino, Confessioni XI, 14, 17

Traduzione: "Cos'è dunque il tempo? Se nessuno me lo chiede, lo so. Se voglio spiegarlo a chi me lo chiede, non lo so."

Il problema dei tre tempi

Agostino osserva tre paradossi sull'ontologia del tempo:

• Il passato non esiste più (è andato).
• Il futuro non esiste ancora (non è venuto).
• Il presente è un istante senza durata: se avesse durata, sarebbe divisibile in un passato (già andato) e un futuro (non ancora venuto).

Eppure misuriamo durate, ricordiamo eventi passati, prevediamo eventi futuri. Come è possibile?

La risoluzione: tempo come distensio animi

Agostino conclude (Libro XI, capitoli 27-30) che il tempo è una distensio animi — un'estensione, una distensione dell'anima. Il tempo non è proprietà del mondo esterno: è una struttura della mente. L'articolazione di Agostino:

• Il "passato" esiste come memoria (memoria) nel presente della mente.
• Il "futuro" esiste come attesa (expectatio) nel presente della mente.
• Il "presente" è la percezione attuale (contuitus).

"In te, anime meus, tempora metior."

— Agostino, Confessioni XI, 27, 36

Traduzione: "In te, anima mia, misuro il tempo."

L'argomento del canto dell'inno

Agostino sviluppa l'argomento attraverso l'esempio del canto di un inno (canticum). Quando si canta un inno:

• Le sillabe già pronunciate sono nel passato.
• Le sillabe non ancora pronunciate sono nel futuro.
• Solo la sillaba in pronuncia è nel presente.

Eppure l'inno è vissuto come unità coerente, perché la mente trattiene le sillabe passate (memoria) e anticipa quelle future (attesa). L'unità temporale dell'inno non sta nel mondo: sta nella sintesi mentale di memoria + percezione + attesa.

Influenza

L'analisi di Agostino è uno dei testi più influenti nella filosofia del tempo. Ripresa e sviluppata da:

• Edmund Husserl (Lezioni sulla fenomenologia della coscienza interna del tempo, lezioni 1904-1905, pubblicate 1928) — ritenzione e protensione.
• Henri Bergson (Essai sur les données immédiates de la conscience, 1889) — durata (durée) come tempo vissuto, distinto dal tempo misurato.
• Martin Heidegger (Sein und Zeit, 1927) — temporalità del Dasein.
• Paul Ricœur (Temps et récit, 1983-1985) — narratività e tempo.

Rovelli, L'ordine del tempo, Capitolo 12: cita Agostino come precursore filosofico della tesi che il tempo vissuto è una struttura della mente, non una proprietà oggettiva del mondo.

Edmund Husserl (1859-1938)

Filosofo tedesco di origine ebraico-morava, nato a Prossnitz (Moravia, allora Impero austro-ungarico, oggi Prostějov, Repubblica Ceca). Formazione iniziale in matematica con Karl Weierstrass a Berlino (dottorato 1883), poi passaggio alla filosofia con Franz Brentano a Vienna.

Cattedra a Gottinga (1901-1916), poi a Friburgo (1916-1928). Allievi famosi: Martin Heidegger, Edith Stein, Eugen Fink. Espulso dall'università per le leggi razziali del 1933.

Opera dedicata alla coscienza del tempo: Vorlesungen zur Phänomenologie des inneren Zeitbewusstseins — lezioni tenute al semestre invernale 1904-1905, curate da Heidegger e pubblicate nel 1928 in Jahrbuch für Philosophie und phänomenologische Forschung, vol. 9.

La struttura della coscienza del tempo

Riprendendo e formalizzando l'analisi agostiniana, Husserl propone una struttura della coscienza del tempo articolata in tre componenti:

Impressione originaria (Urimpression)

L'adesso vivente: il punto di percezione attuale in cui arriva un nuovo dato (es. la nota che sta suonando ora).

Ritenzione (Retention)

La nota appena percepita non scompare istantaneamente dalla coscienza: resta trattenuta in una forma sfumata. Husserl distingue:

• Ritenzione di primo grado: la nota appena suonata, ancora "presente" in modo prossimale.
• Ritenzione di secondo grado: la ritenzione della nota precedente, già più sfumata.
• E così via in sfumature successive, formando una scia retentiva nel presente.

La ritenzione non è il ricordo esplicito (memoria nella terminologia di Husserl), ma una persistenza pre-riflessiva nel presente vissuto.

Protensione (Protention)

La mente anticipa il dato successivo sulla base della struttura del flusso percettivo: l'ascoltatore di una melodia anticipa la nota seguente. La protensione è l'attesa pre-cosciente del futuro immediato.

Il diagramma del tempo

Husserl propone un diagramma per visualizzare la struttura sintetica del tempo cosciente. Rovelli lo cita esplicitamente nel Capitolo 12.

A           E
o-----------o      ← Asse orizzontale: tempo oggettivo
 .         .       ← Le ritenzioni dei punti precedenti
 . .     . .          al momento E sfumano gradualmente
  . .   . .
   . . . .
    A'

• L'asse orizzontale rappresenta il flusso oggettivo del tempo.
• Le linee diagonali rappresentano le ritenzioni dei punti precedenti, che persistono nel presente come scia sfumata.
• Il momento E contiene così tracce ritenute di tutti gli istanti recenti, fino a un punto A' di evanescenza.

La tesi di Husserl

Per Husserl il tempo cosciente non è percezione passiva di un tempo già strutturato nel mondo: è la struttura della coscienza (impressione + ritenzione + protensione) a costituire il tempo come fenomeno.

"I fenomeni costituiscono il tempo." (parafrasi della tesi husserliana)

Il tempo della coscienza non sta nell'asse orizzontale degli eventi nel mondo, ma nella sintesi verticale (memoria pre-riflessiva e anticipazione) operata dalla mente.

La ripresa di Rovelli

Rovelli, L'ordine del tempo, Capitolo 12: cita Husserl come elaboratore moderno dell'analisi agostiniana. Per Rovelli, la fenomenologia husserliana descrive correttamente la struttura del tempo soggettivo, anche in una cornice naturalistica in cui il tempo "oggettivo" non è un flusso unico ma una rete locale di interazioni — perché il tempo vissuto è comunque organizzato dalle tracce neurali generate dalla crescita dell'entropia.

Immanuel Kant (1724-1804)

Filosofo tedesco, massimo esponente dell'illuminismo tedesco e dell'idealismo trascendentale. Visse l'intera vita a Königsberg (Prussia orientale, oggi Kaliningrad, enclave russa).

Opere principali (le "tre Critiche"):

• Critica della Ragion Pura (1781; seconda edizione rivista 1787) — fondamenti della conoscenza.
• Critica della Ragion Pratica (1788) — fondamenti dell'etica.
• Critica del Giudizio (1790) — fondamenti dell'estetica e della teleologia.

L'Estetica trascendentale

Nella prima sezione della Critica della Ragion Pura (Trascendentale Aesthetik), Kant analizza i fondamenti della percezione sensibile. Tesi: spazio e tempo non sono proprietà delle "cose in sé" (Dinge an sich), ma forme della nostra sensibilità — modi necessari in cui la mente ordina le rappresentazioni.

Spazio = forma del senso esterno (äusserer Sinn)

Lo spazio è il modo in cui ordiniamo le rappresentazioni di oggetti esterni (vista, tatto, udito). Tutto ciò che percepiamo fuori di noi è organizzato in tre dimensioni — non perché lo spazio sia una proprietà delle cose, ma perché è la struttura con cui la sensibilità umana legge ciò che le si presenta.

Tempo = forma del senso interno (innerer Sinn)

Il tempo è il modo in cui ordiniamo gli stati interni della coscienza: pensieri, emozioni, sensazioni. Indirettamente, il tempo struttura anche tutto il mondo esperito, perché ogni rappresentazione (anche spaziale) passa per la coscienza temporale.

Le conseguenze epistemologiche

Per Kant:

• Tempo e spazio sono soggettivi nel senso che sono strutture della mente.
• Sono oggettivamente validi per tutti gli esseri razionali — sono universali e necessari, non arbitrari ("trascendentali" nel lessico kantiano).
• Le cose in sé (la realtà come è indipendentemente dall'apparato cognitivo umano) potrebbero non essere temporali né spaziali.

Questa posizione è chiamata idealismo trascendentale: la conoscenza che abbiamo del mondo è sempre filtrata dalle forme a priori della sensibilità (spazio, tempo) e dalle categorie dell'intelletto (causalità, sostanza, ecc.).

La distanza di Rovelli dall'idealismo trascendentale

Rovelli, L'ordine del tempo, Capitolo 12: cita Kant nella tradizione che ha intuito la dimensione soggettiva-strutturale del tempo. Rovelli prende però distanza dall'idealismo trascendentale in senso forte.

Per Rovelli:

• Il tempo termodinamico (l'entropia che cresce nel mondo) è reale e indipendente dal soggetto.
• Il tempo come "flusso" cosciente è una costruzione della mente (su questo Kant aveva ragione).

Le due dimensioni convivono: c'è una struttura termodinamica oggettiva del mondo (gradiente entropico), e c'è la costruzione mentale del "fluire" basata su memoria e anticipazione.

Guglielmo di Occam (~1287-1347)

Filosofo, teologo e logico inglese, frate francescano. Studi a Oxford, attività accademica interrotta dalle controversie con la curia papale di Avignone (sostiene la povertà evangelica contro Giovanni XXII). Trascorre gli ultimi anni a Monaco di Baviera sotto la protezione dell'imperatore Ludovico IV.

Noto per il rasoio di Occam (formulazione attribuita: entia non sunt multiplicanda praeter necessitatem — "non si devono moltiplicare gli enti oltre il necessario"), principio metodologico di parsimonia ontologica.

Nelle opere di filosofia naturale (commenti alla Fisica di Aristotele, Quaestiones in libros physicorum Aristotelis), Occam discute la natura del tempo. La sua posizione: il tempo è una nozione che emerge dalla relazione tra osservatore e mondo. L'uomo percepisce il tempo perché osserva sia i moti esterni (sole, stagioni) sia i propri stati interni (pensieri, sensazioni). Il tempo non è una proprietà delle cose né uno stato puramente soggettivo: è una struttura relazionale.

Martin Heidegger (1889-1976)

Filosofo tedesco, allievo di Husserl a Friburgo. Opera fondamentale: Sein und Zeit (Essere e tempo), 1927.

In Sein und Zeit Heidegger sviluppa l'idea che il tempo è strutturalmente legato al modo di essere dell'uomo (il Dasein, "esser-ci"). Il tempo "si temporalizza" (sich zeitigen) nelle modalità della cura (Sorge) — il modo in cui il Dasein si rapporta al mondo attraverso progetti per il futuro, ritenzione del passato, presenza al presente.

Per Heidegger il tempo è l'orizzonte dell'essere per il Dasein: non un contenitore neutro in cui le cose accadono, ma la struttura attraverso cui l'esser-ci si trova nel mondo.

Rovelli, L'ordine del tempo, Capitolo 12: cita Heidegger come parte della tradizione che ha messo in evidenza la natura strutturale (non meramente percepita) del tempo nell'esperienza umana, pur trovando il linguaggio heideggeriano "voluto oscuro".

Hans Reichenbach (1891-1953)

Filosofo tedesco della scienza, esponente dell'empirismo logico (Circolo di Berlino, fondato nel 1928). Studi a Stuttgart, Berlino, Monaco, Gottinga (dottorato in filosofia 1915 con Paul Hensel). Allievo indiretto del Circolo di Vienna.

Emigrato dalla Germania nazista nel 1933: prima a Istanbul (1933-1938), poi negli Stati Uniti, dove insegna alla University of California, Los Angeles (UCLA) dal 1938 fino alla morte nel 1953.

Opera postuma: The Direction of Time (University of California Press, 1956), curata dalla moglie Maria Reichenbach. È uno dei testi più influenti del Novecento sulla freccia del tempo.

Tesi centrale: la direzionalità del tempo (la distinzione passato/futuro) emerge dal secondo principio della termodinamica e dalla struttura statistica dei processi macroscopici. La causalità segue lo stesso gradiente entropico.

Reichenbach suggerisce inoltre che molte tradizioni filosofiche precedenti (Parmenide, Platone, Hegel) abbiano cercato di negare la realtà del tempo in risposta all'angoscia esistenziale che la finitezza temporale produce.

La tradizione della negazione del tempo

Rovelli, alla chiusura del Capitolo 13, traccia una breve genealogia di pensatori che hanno cercato di negare la realtà del tempo:

• Parmenide di Elea (V sec. a.C.): il vero essere è immutabile; il cambiamento è illusione. Frammenti raccolti in Diels-Kranz 28.
• Platone (V-IV sec. a.C.): il mondo delle idee è fuori dal tempo, eterno; il mondo sensibile è copia mutabile e ontologicamente inferiore (Timeo 37c-38c: il tempo come "immagine mobile dell'eternità").
• G. W. F. Hegel (1770-1831): nello sviluppo dialettico, lo Spirito assoluto supera la temporalità e si realizza come totalità eterna.

Rovelli, seguendo Reichenbach, suggerisce che queste filosofie nascano in parte come risposte all'inquietudine emotiva di fronte alla finitezza temporale. La fisica moderna permette un approccio diverso: comprendere il tempo come fenomeno emergente — reale ma non fondamentale, senza necessità di negarlo.

La velocità della luce come limite

La velocità della luce nel vuoto è c = 299.792.458 m/s (~300.000 km/s). Dal 1983, è una costante esatta per definizione nel Sistema Internazionale. È il limite massimo di propagazione per qualsiasi segnale fisico portatore di informazione.

Struttura causale: cono di luce

Per ogni evento dell'universo, gli eventi restanti si dividono in tre regioni rispetto al cono di luce:

• Cono passato: eventi i cui segnali (luce o materia) hanno avuto tempo di raggiungerci. Possono averci influenzato.
• Cono futuro: eventi che possiamo ancora raggiungere con un nostro segnale. Possiamo ancora influenzarli.
• Altrove (regione di tipo spazio, presente esteso): eventi che non possiamo né osservare né influenzare. La luce di quegli eventi non è ancora arrivata; un nostro segnale non può più arrivare in tempo.

Durata del "presente esteso"

Per due eventi separati da distanza spaziale d, l'intervallo di "Altrove" reciproco è ~2d/c (andata e ritorno di luce):

• Marte: distanza media ~12 minuti luce → presente esteso ~12-15 minuti (varia ~6-40 minuti per posizione orbitale)
• Proxima Centauri b: 4,2426 anni luce → presente esteso ~8 anni
• Galassia di Andromeda: 2,537 milioni di anni luce → presente esteso ~5 milioni di anni

Relatività della simultaneità

Per eventi con separazione di tipo spazio (intervallo s² = c²t² − x² − y² − z² < 0), non esiste un ordinamento temporale assoluto: osservatori in moto relativo concordano sul fatto che gli eventi non siano causalmente connessi, ma possono ordinarli diversamente nel tempo. Esiste sempre un sistema di riferimento in cui i due eventi sono simultanei.

Questa è una conseguenza diretta della trasformazione di Lorentz e quindi della relatività speciale (Einstein, "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik, 1905).

Conferme sperimentali

• Eclissi solare 29 maggio 1919: la spedizione di Arthur Eddington (Príncipe e Sobral) misura la deflessione della luce di stelle vicine al disco solare durante l'eclissi totale. Previsione GR: 1,75″ al lembo. Misure: 1,98″ ± 0,12″ (Sobral) e 1,61″ ± 0,30″ (Príncipe). Previsione newtoniana: 0,87″. Le misure confermano la relatività generale.
• Esperimento Scott/Mark Kelly (NASA, 2015-2016): Scott Kelly trascorre 340 giorni sulla ISS; al rientro è circa 5 millisecondi più giovane del fratello gemello Mark rimasto a terra. L'ISS orbita a ~27.600 km/h, altitudine ~400 km. Effetto cinematico (SR) e gravitazionale (GR) combinati: l'effetto velocità prevale, gli astronauti invecchiano ~14 ms/anno di meno.

Coni di luce

Il cono di luce di un evento E è la rappresentazione geometrica delle relazioni causali di E con il resto dello spazio-tempo. Si distinguono tre regioni:

• Cono futuro di E: eventi raggiungibili da un segnale partito da E, alla velocità della luce o inferiore.
• Cono passato di E: eventi da cui un segnale può aver raggiunto E.
• Altrove di E: eventi al di fuori dei due coni, non causalmente connessi a E.

I bordi dei coni sono geodetiche nulle (raggi di luce). In un diagramma spazio-tempo con asse temporale scalato per c, questi bordi sono inclinati a 45°.

L'inclinazione dei coni in relatività generale

Einstein presenta le equazioni di campo della relatività generale all'Accademia Prussiana il 25 novembre 1915. La massa-energia curva lo spazio-tempo. Due conseguenze geometriche immediate:

1. Dilatazione gravitazionale del tempo (orologi più lenti vicino alle masse).
2. Inclinazione dei coni di luce verso le masse — la struttura causale locale si modifica in presenza di un campo gravitazionale.

Onde gravitazionali

Le onde gravitazionali sono perturbazioni della metrica spazio-temporale che si propagano alla velocità della luce. Einstein le predice nel 1916 in "Näherungsweise Integration der Feldgleichungen der Gravitation" (Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften).

La prima rivelazione diretta avviene il 14 settembre 2015 dall'osservatorio LIGO (evento GW150914, fusione di due buchi neri di ~36 e ~29 masse solari a circa 1,3 miliardi di anni luce). L'annuncio pubblico è dell'11 febbraio 2016.

Rovelli usa l'immagine dei coni di luce locali che oscillano "come spighe di grano quando c'è vento": un'onda gravitazionale che attraversa una regione modifica la metrica locale, inclinando in modo coordinato e oscillatorio i coni di luce.

Buchi neri

Un buco nero è una regione dello spazio-tempo dove la curvatura è così intensa che oltre un confine (l'orizzonte degli eventi) nessun segnale può uscire — nemmeno la luce.

In coordinate di Schwarzschild (buco nero non rotante), all'orizzonte la coordinata radiale r e la coordinata temporale t scambiano i ruoli causali:

• Esterno: t di tipo tempo (a senso unico), r di tipo spazio.
• Interno: r diventa di tipo tempo (a senso unico, decrescente verso 0), t diventa di tipo spazio.

Dentro l'orizzonte, "andare verso il centro" è inevitabile come per noi è inevitabile "andare verso domani". Tutte le linee d'universo future convergono alla singolarità.

Il "river model" di Hamilton e Lisle

Andrew J. S. Hamilton e Jason P. Lisle, in "The river model of black holes" (American Journal of Physics, 76(6), 519, 2008), propongono un modello intuitivo: lo spazio "scorre" verso il centro come un fiume, alla velocità della luce all'orizzonte e oltre la velocità della luce all'interno. Gli oggetti rispettano localmente la relatività speciale rispetto a questo flusso. È un'utile riformulazione didattica, non la formulazione standard della metrica di Schwarzschild.

Asimmetria osservativa caduta nel buco nero

Dal punto di vista di un osservatore esterno, un oggetto che cade nel buco nero appare:

• Rallentare progressivamente nel proprio tempo proprio (redshift gravitazionale crescente).
• All'orizzonte: il tempo "sembra" fermarsi (redshift gravitazionale infinito, luminosità della sorgente che tende a zero).

Dal punto di vista dell'oggetto che cade:

• Attraversa l'orizzonte in tempo proprio finito, senza segnali locali del passaggio (l'orizzonte è una proprietà globale della geometria, non una barriera locale).

Kurt Gödel e le curve temporali chiuse

Kurt Gödel (1906-1978), logico austriaco, è amico stretto di Einstein a Princeton (Institute for Advanced Study). Per il 70° compleanno di Einstein nel 1949, Gödel pubblica una soluzione delle equazioni di campo: l'universo di Gödel, rotante con costante cosmologica negativa.

Pubblicazione: Gödel, K. (1949). "An example of a new type of cosmological solution of Einstein's field equations of gravitation". Reviews of Modern Physics, 21(3), 447-450.

La soluzione contiene curve temporali chiuse (closed timelike curves, CTC): traiettorie nello spazio-tempo che, andando sempre verso il futuro, ritornano al punto di partenza. In linea di principio, viaggi nel tempo permessi dalle equazioni di Einstein.

L'universo di Gödel non corrisponde al nostro (non c'è evidenza di rotazione globale dell'universo nei modi richiesti). Resta un esempio formale del fatto che le equazioni di campo ammettono soluzioni con strutture temporali patologiche.

Presentismo

Tesi: solo il presente è reale. Il passato non esiste più (è andato), il futuro non esiste ancora (deve venire).

Origine: posizione tradizionalmente associata a Sant'Agostino (Confessioni, Libro XI) e ad altri pensatori medievali. Riflette l'intuizione comune che "esiste solo ciò che esiste adesso".

Critica fisica: incompatibile con la relatività speciale, che ha dimostrato che la simultaneità è relativa al sistema di riferimento. Non esiste un "presente globale" valido per tutti gli osservatori. Senza un "adesso assoluto", il presentismo perde il suo riferimento operativo.

Eternalismo (block universe)

Tesi: passato, presente e futuro sono ugualmente reali. La realtà è l'intera storia dell'universo, descrivibile come blocco quadridimensionale di spazio-tempo già "compiuto".

Formulazione moderna: associata in particolare al filosofo australiano J. J. C. Smart (1949), "The River of Time", Mind, 58(232), 483-494. Considerata da molti commentatori come la lettura ontologica più naturale della relatività speciale (Minkowski, 1908; Putnam, 1967).

Conseguenza: il "fluire del tempo" è descritto come fenomeno percettivo dell'osservatore, non come proprietà fisica del mondo. Il cambiamento, in senso ontologico forte, non esiste — c'è solo una struttura geometrica quadridimensionale.

Critica di Rovelli: l'eternalismo nega un fatto centrale dell'esperienza fisica — che le cose accadono. Per Rovelli il divenire è reale, non illusorio; il mondo è una rete di eventi correlati, non un blocco statico.

La posizione di Rovelli (relazionalismo temporale)

Tesi: né presentismo né eternalismo. Le relazioni temporali tra eventi sono reali, ma non formano un'unica linea ordinata globale. Sono una struttura locale, organizzata in rete.

Punti chiave:

• Il cambiamento è reale (contro l'eternalismo).
• Non c'è un "adesso globale" (contro il presentismo).
• Le relazioni temporali costituiscono un ordine parziale: localmente ben definite, globalmente non sincronizzabili.

L'analogia che Rovelli utilizza nel Capitolo 8: l'universo è una grande conversazione con molti scambi paralleli. Ogni scambio è reale e ha un suo "prima e dopo" interno, ma non c'è una trascrizione globale che metta tutti gli eventi su una linea unica.

La famiglia di Leonida (fonti storiche)

Leonida I (~540-480 a.C.), re di Sparta, comandante degli Spartani alle Termopili (480 a.C.). La sua famiglia è documentata da Erodoto in Storie, Libro V (capitoli 39-41) e Libro VII (capitoli 204-205, 239).

• Anassandrida II (padre di Leonida e Cleomene): re di Sparta. Sposò due mogli contemporaneamente per disposizione degli efori (caso documentato come unica eccezione alla monogamia spartana), poiché la prima era ritenuta sterile.
• Cleomene I (re ~519-490 a.C.): figlio della seconda moglie di Anassandrida. Fratellastro di Leonida (stesso padre, madre diversa).
• Dorieo, Leonida, Cleombroto: figli della prima moglie di Anassandrida.
• Gorgo: figlia di Cleomene I, sposò Leonida (suo zio paterno). Pose le basi per la decifrazione della tavoletta cerata di Demarato (Erodoto, VII, 239).
• Pleistarco: figlio di Leonida e Gorgo, successe a Leonida come re di Sparta.

Il problema della "stessa generazione"

Due criteri ragionevoli per definire la relazione "stessa generazione":

1. Stesso padre → Cleomene e Leonida sono nella stessa generazione (entrambi figli di Anassandrida).
2. Stesso figlio → Leonida e Gorgo sono nella stessa generazione (entrambi genitori di Pleistarco).

Per transitività di un'ipotetica relazione totale di "stessa generazione":

• Leonida = stessa generazione di Cleomene (criterio 1)
• Leonida = stessa generazione di Gorgo (criterio 2)
• Quindi: Cleomene = stessa generazione di Gorgo

Ma Cleomene è il padre di Gorgo: padre e figlia non possono essere della stessa generazione. Contraddizione.

Conclusione: ordine parziale

Non esiste una numerazione lineare delle generazioni (1, 2, 3, …) che funzioni per tutti i membri della famiglia. Le relazioni dirette (genitore-figlio, fratellanza, matrimonio) sono ben definite, ma una sequenza globale di "generazioni" non esiste.

In matematica, una struttura di confronto in cui alcune coppie sono confrontabili e altre no è detta ordine parziale (partially ordered set, "poset"). Esempi: la relazione "è antenato di" tra individui di una stirpe, la relazione di inclusione tra sottoinsiemi di un insieme.

Estensione al tempo dell'universo

Rovelli usa la famiglia di Leonida come analogia per la struttura temporale prevista dalla relatività speciale:

• Per coppie di eventi connessi causalmente (intervallo di tipo tempo): esiste un ordine "prima/dopo" assoluto.
• Per coppie di eventi spazialmente separati (intervallo di tipo spazio): non esiste un ordine universale; osservatori in moto relativo possono ordinarli diversamente.

Il tempo dell'universo è quindi un ordine parziale, non un ordine totale come quello newtoniano.

Citazione di Rovelli

"La relatività speciale è la scoperta che la struttura temporale dell'universo è come le parentele. Definisce un ordine fra gli eventi dell'universo che è parziale e non completo."

— Carlo Rovelli, L'ordine del tempo

La distinzione

Cose (ontologia delle sostanze)	Eventi (ontologia dei processi)
Esistono e durano nel tempo	Accadono e finiscono
Hanno posizione spaziale	Hanno posizione spazio-temporale
"Dov'è X?" è la domanda corretta	"Quando è successo X?" è la domanda corretta
Sasso, montagna, pianeta	Bacio, onda, temporale, nuvola

La tesi di Rovelli

Anche le entità che ci appaiono stabili (un sasso, una montagna) sono in realtà eventi lenti. Un sasso è un sistema di campi quantistici in equilibrio temporaneo, prima di disgregarsi. La differenza tra "cosa" ed "evento" è una questione di durata caratteristica, non di natura ontologica.

Rovelli, L'ordine del tempo, Capitolo 7:

"Il mondo non è fatto di cose, è fatto di eventi."

— Carlo Rovelli, L'ordine del tempo (Adelphi, 2017)

La fisica come descrizione del divenire

Le equazioni fondamentali della fisica sono equazioni di evoluzione:

• Equazioni di Newton: come si muovono le cose nel tempo.
• Equazioni di Maxwell: come evolvono i campi elettromagnetici.
• Equazione di Schrödinger: come evolve la funzione d'onda.
• Equazioni di Einstein: come si deforma lo spazio-tempo in risposta alla materia.

In nessun caso esiste una "fisica delle cose statiche". La fisica descrive sempre dinamiche.

Tradizione filosofica del processualismo

L'ontologia processuale ha precedenti consolidati:

• Eraclito (~535-475 a.C.): "πάντα ῥεῖ" — tutto scorre. Il celebre frammento sul fiume in cui non ci si bagna due volte (riportato da Platone, Cratilo 402a).
• Buddismo antico: anicca (impermanenza). Tutto ciò che è composto è impermanente. È una delle tre caratteristiche dell'esistenza (tilakkhana) insieme a dukkha (sofferenza) e anatta (non-sé).
• Alfred North Whitehead (1929): Process and Reality. Macmillan. La realtà è fatta di "occasioni di esperienza" (actual occasions), non di sostanze.
• Carlo Rovelli (2017): L'ordine del tempo. La realtà fisica è una rete di eventi correlati, non un insieme di cose persistenti.

La proposta di Rovelli (1996)

Rovelli, C. (1996). "Relational Quantum Mechanics". International Journal of Theoretical Physics, 35(8), 1637-1678. (Anche arXiv:quant-ph/9609002.)

Tesi: gli stati quantistici sono relativi al sistema che li descrive. Le proprietà fisiche delle cose esistono solo nelle interazioni tra sistemi. Non esiste una funzione d'onda "vera" universale, valida indipendentemente da chi descrive il sistema.

Differenze con altre interpretazioni

• Interpretazione di Copenhagen (Bohr, Heisenberg, anni 1925-1930): la misura provoca il "collasso" della funzione d'onda. Il meccanismo del collasso è postulato, non derivato.
• Mondi paralleli / Many-Worlds (Hugh Everett III, 1957, Reviews of Modern Physics, 29, 454): non c'è collasso. L'universo si "ramifica" in versioni parallele a ogni misura.
• QBism (Fuchs, Mermin, Schack, 2010s): la funzione d'onda rappresenta le credenze soggettive dell'agente; gli stati quantistici sono epistemici personali.
• RQM (Rovelli, 1996): non c'è collasso assoluto. Le proprietà esistono solo nelle interazioni. Diversi osservatori possono attribuire al medesimo sistema stati diversi, tutti ugualmente validi.

Il principio relazionale

"Le proprietà fisiche delle cose non esistono in modo assoluto. Esistono solo nelle relazioni tra sistemi che interagiscono."

Conseguenza: il tempo emerge da una rete di interazioni quantistiche tra sistemi, non è un parametro esterno indipendente.

Status sperimentale

L'interpretazione di Rovelli è coerente con tutti i dati sperimentali noti (è un'interpretazione, non una teoria empirica distinta). Esperimenti recenti sull'entanglement (test di Bell estesi, scenari "Wigner's friend") sono compatibili con RQM, ma non la distinguono univocamente dalle altre interpretazioni.

Decoerenza quantistica

Concetto correlato a RQM ma indipendente: la decoerenza quantistica spiega perché a scale macroscopiche le sovrapposizioni non sono osservate. Le interazioni continue con l'ambiente (fotoni termici, molecole d'aria, radiazione di fondo) producono entanglement con un gran numero di gradi di libertà inaccessibili, riducendo la matrice densità a forma diagonale negli stati "classici" preferiti.

Storia del concetto:

• H. Dieter Zeh (1970), "On the Interpretation of Measurement in Quantum Theory". Foundations of Physics, 1(1), 69-76. Prima formulazione.
• Wojciech Zurek (anni 1980-1990): sviluppo della decoerenza come meccanismo di "Darwinismo quantistico".

Riferimenti divulgativi di Rovelli

Rovelli, C. (2020). Helgoland. Adelphi. Volume divulgativo dedicato a RQM, con riferimenti storici al lavoro di Heisenberg a Helgoland nel 1925.

Platone e i solidi platonici (~360 a.C.)

Nel dialogo Timeo (~360 a.C., 53c-55c), Platone associa ognuno dei cinque poliedri regolari a una sostanza elementare:

• Tetraedro (4 facce triangolari equilatere) → fuoco
• Cubo (6 facce quadrate) → terra
• Ottaedro (8 facce triangolari equilatere) → aria
• Icosaedro (20 facce triangolari equilatere) → acqua
• Dodecaedro (12 facce pentagonali) → la struttura del cosmo intero (nella tradizione successiva, l'"etere" o "quintessenza")

I cinque solidi sono gli unici poliedri regolari convessi. La classificazione è dimostrata da Euclide negli Elementi, Libro XIII (Proposizioni 13-18).

L'ipotesi di Platone è empiricamente non corretta: gli atomi non hanno la forma dei solidi platonici. Resta un esempio storiografico del tentativo di spiegare la realtà attraverso la geometria di forme statiche.

Keplero e il Mysterium Cosmographicum (1596)

Johannes Kepler (1571-1630), a 24-25 anni, pubblica nel 1596 il suo primo libro: Mysterium Cosmographicum (Tübingen).

Tesi del libro: i raggi delle orbite dei sei pianeti allora noti (Mercurio, Venere, Terra, Marte, Giove, Saturno) sono determinati dai cinque poliedri regolari incastonati uno dentro l'altro, separati da sfere i cui raggi sono proporzionali ai semiassi delle orbite.

Il modello è esteticamente coerente con la tradizione platonica. Empiricamente non funziona — le orbite reali non si adattano al modello entro l'accuratezza dei dati di Tycho Brahe.

Le tre leggi di Keplero (1609, 1619)

Keplero arriva ai suoi risultati duraturi abbandonando l'approccio delle forme statiche e analizzando come si muovono i pianeti, sulla base dei dati osservativi di Tycho Brahe (~1576-1601):

1. Prima legge (Kepler, 1609, Astronomia Nova): le orbite dei pianeti sono ellittiche, con il Sole in uno dei due fuochi.
2. Seconda legge (Kepler, 1609, Astronomia Nova): legge delle aree — il raggio vettore Sole-pianeta spazza aree uguali in tempi uguali, quindi la velocità del pianeta è inversamente proporzionale alla distanza dal Sole.
3. Terza legge (Kepler, 1619, Harmonices Mundi): T² ∝ a³, dove T è il periodo orbitale e a il semiasse maggiore.

Le tre leggi descrivono movimenti (eventi), non forme (cose). Costituiscono la base empirica della meccanica celeste e, in seguito, della gravitazione universale newtoniana.

L'equazione di Schrödinger e gli orbitali atomici

Erwin Schrödinger pubblica nel 1926 l'equazione che porta il suo nome: Schrödinger, E. (1926). "Quantisierung als Eigenwertproblem". Annalen der Physik, 79, 361-376; 384, 489-527.

Gli orbitali atomici (le distribuzioni di probabilità degli elettroni attorno al nucleo, etichettate s, p, d, f) non sono forme date a priori: sono soluzioni dell'equazione di Schrödinger per il potenziale coulombiano. Le forme geometriche emergono come autofunzioni di un'equazione di evoluzione, non come postulati ontologici.

Le forme che Platone cercava nei solidi regolari si ottengono — ma come soluzioni di un'equazione di movimento di campi quantistici, non come forme date.

Il problema strutturale

La fisica del XX secolo ha prodotto due teorie fondamentali:

• Relatività generale (Einstein, 1915): descrive la gravità tramite la curvatura dello spazio-tempo. Confermata per fenomeni astrofisici e cosmologici (orbite planetarie, lente gravitazionale, redshift, onde gravitazionali, GPS).
• Meccanica quantistica (Heisenberg, Schrödinger, Dirac et al., 1925-1928): descrive il comportamento delle particelle elementari. Confermata per fenomeni atomici e subatomici (spettri, transizioni, elettrodinamica quantistica, modello standard).

Le due teorie sono incompatibili quando si tenta di trattare il campo gravitazionale con i metodi della teoria quantistica dei campi: l'integrale di Feynman per la gravità diverge, la teoria è non rinormalizzabile nel senso convenzionale.

Le situazioni in cui entrambe sono necessarie

La maggior parte dei fenomeni osservabili ricade nel dominio di una sola delle due teorie. Esistono però regimi in cui i due quadri devono coesistere:

• Singolarità centrali dei buchi neri: massa concentrata in scale piccolissime.
• Big Bang: l'intera massa-energia dell'universo osservabile concentrata in volumi prossimi alla scala di Planck.
• Struttura dello spazio-tempo alla scala di Planck (~10⁻³⁵ m, ~10⁻⁴⁴ s).

In questi regimi le predizioni delle due teorie divergono o perdono significato.

I due principali approcci candidati

1. Teoria delle stringhe. Postula che le particelle elementari siano modi di vibrazione di "stringhe" estese. Richiede 10 dimensioni dello spazio-tempo (con compattificazione delle dimensioni extra). Storicamente dominante nei dipartimenti di fisica teorica statunitensi. Senza conferme sperimentali dirette.

2. Gravità quantistica a loop (Loop Quantum Gravity, LQG). Postula che lo spazio-tempo stesso sia discreto a scala di Planck, formato da "anelli" (loop) e nodi che compongono una rete di spin (spin network). Sviluppata da Abhay Ashtekar, Lee Smolin e Carlo Rovelli dalla fine degli anni '80. Rovelli lavora al Centre de Physique Théorique di Aix-Marseille Université a Marsiglia.

Ad oggi nessuno dei due approcci ha conferme sperimentali decisive.

Riferimenti di Rovelli sul tema

Rovelli, C. (2004). Quantum Gravity. Cambridge University Press. Testo tecnico di riferimento per LQG.

Rovelli, C. (2014). La realtà non è come ci appare. Raffaello Cortina. Divulgazione sulla gravità quantistica a loop.

Il tempo di Planck

Il tempo di Planck è la scala minima di tempo derivabile dalle tre costanti fondamentali:

t_P = √(ℏ G / c⁵) ≈ 5,39 × 10⁻⁴⁴ s

dove ℏ è la costante di Planck ridotta, G è la costante di gravitazione universale, c è la velocità della luce. Sotto questa scala, le equazioni della relatività generale e della meccanica quantistica entrano simultaneamente in regime non classico, e il concetto stesso di "tempo continuo" perde significato operativo.

La lunghezza di Planck

Analogamente, la lunghezza di Planck:

ℓ_P = √(ℏ G / c³) ≈ 1,62 × 10⁻³⁵ m

Sotto questa scala, anche il concetto di lunghezza o distanza perde significato operativo nei quadri teorici noti.

Confronti di scala

• In 1 secondo: circa 10⁴⁴ tempi di Planck.
• Età dell'universo: ~13,8 miliardi di anni ≈ 4,4 × 10¹⁷ s.
• Il rapporto secondo/Planck (~10⁴⁴) supera il rapporto età-universo/secondo (~10¹⁷).

Discretezza in natura: precedenti

L'idea che grandezze fisiche apparentemente continue siano in realtà discrete ha precedenti consolidati nella fisica del XX secolo:

• Luce: fotoni discreti (effetto fotoelettrico, Einstein 1905; Premio Nobel 1921).
• Energia degli atomi: livelli quantizzati discreti (modello di Bohr, 1913; spettri atomici).
• Carica elettrica: multipla intera della carica elementare (Millikan, 1909-1913, esperimento della goccia d'olio; Premio Nobel 1923).
• Materia: atomi discreti (Boltzmann, statistica molecolare; Einstein 1905 sul moto browniano; Perrin 1908-1913, Nobel 1926).

Nella gravità quantistica a loop, anche spazio e tempo sono postulati discreti — fatti di loop e nodi di una rete di spin alle scale di Planck.

Filosofi pre-moderni del tempo discreto

Rovelli nota che l'idea del tempo discreto ha anticipazioni nella filosofia medievale:

• Isidoro di Siviglia (~560-636 d.C.), nelle Etymologiae, sostiene che il tempo è composto da unità minime indivisibili.
• Venerabile Beda (~672-735 d.C.), in De divisionibus temporum, discute la suddivisione del tempo.
• Maimonide (~1138-1204 d.C.), in Guida dei perplessi (Parte I, cap. 73), scrive: "Il tempo è composto da atomi, cioè da molte parti che non possono essere ulteriormente suddivise a causa della corta durata."

Le radici risalgono probabilmente all'atomismo greco-classico (Leucippo, Democrito, V-IV sec. a.C.), di cui restano frammenti indiretti.

Il problema linguistico

Le lingue indoeuropee moderne (italiano, inglese, francese, tedesco, ecc.) coniugano i verbi secondo tre tempi principali (passato, presente, futuro), con varianti aspettuali e modali. Questa struttura grammaticale presuppone implicitamente un "presente" condiviso da tutti i parlanti — un istante che separa "ciò che è già accaduto" da "ciò che accadrà".

La relatività speciale (Einstein, 1905) ha mostrato che la simultaneità è relativa al sistema di riferimento. Non esiste un "adesso" valido per tutti gli osservatori. La grammatica delle lingue europee è quindi un'approssimazione locale, non una struttura universale della realtà.

Il testo classico sulla Terra sferica

Rovelli cita un testo antico che illustra il tentativo di esprimere la natura locale delle direzioni "alto" e "basso" sulla superficie terrestre. Il passaggio compare in Naturalis Historia di Plinio il Vecchio (libro II, ~77 d.C.) e in altre fonti antiche e tardoantiche che discutono la sfericità della Terra (Aristotele, De Caelo II 14; Tolomeo, Almagesto I).

Il senso del passaggio: per chi vive agli antipodi rispetto a noi, la direzione "alto" punta in direzione opposta alla nostra. Le categorie "alto" e "basso" sono direzioni locali al punto di osservazione, non assolute nello spazio.

Il parallelo con il tempo

Rovelli sviluppa l'analogia:

• Prima del XVI secolo: la maggior parte dei parlanti europei non aveva interiorizzato la sfericità della Terra. Le categorie "alto/basso" erano usate come assolute. La scoperta della Terra sferica (Eratostene aveva già misurato il raggio nel III sec. a.C., ma la nozione si diffuse nella cultura comune attraverso le circumnavigazioni di Magellano-Elcano 1519-1522) ha richiesto di reinterpretarle come locali.
• Oggi: dopo la relatività, le categorie "passato/futuro" sono ancora usate nel linguaggio quotidiano come se fossero assolute. La fisica ha mostrato che sono locali. Il linguaggio non si è ancora adattato.

Macbeth e le streghe

Nell'apertura del Macbeth di Shakespeare (1606), Atto I Scena I, le tre streghe pronunciano in coro:

"Fair is foul, and foul is fair: / Hover through the fog and filthy air."

— William Shakespeare, Macbeth, Atto I Scena I

Traduzione: "Il bello è brutto e il brutto è bello / Volteggiamo nella nebbia e nell'aria sporca."

Rovelli cita la frase come immagine letteraria di una formulazione apparentemente paradossale che esprime una verità non rappresentabile col linguaggio ordinario.

Il testo

Il Milindapañha (in pali: "Le domande di Milinda") è uno dei testi più importanti della letteratura buddista non canonica della tradizione Theravada. Composto in lingua pali, datazione approssimativa II-I secolo a.C. (alcuni studiosi datano gli strati successivi del testo fino al II secolo d.C.).

L'opera è strutturata in sette libri di dialoghi tra il re Milinda e il monaco Nagasena.

I personaggi

Menandro I Sotēr (regno: ~165-130 a.C.) era un re indo-greco del regno greco-battriano, governava un territorio che si estendeva attorno all'attuale Pakistan settentrionale e Afghanistan — eredità delle conquiste di Alessandro Magno (327-325 a.C.) e dei suoi successori. Le monete del suo regno, con iscrizioni greche e in caratteri kharoshthi, sono ampiamente attestate archeologicamente.

Nagasena è il monaco buddista interlocutore. Sulla figura storica le fonti antiche sono scarse; alcuni studiosi (Tarn 1938) lo considerano parzialmente o totalmente un personaggio letterario.

Il dialogo del carro (Libro II)

Rovelli cita esplicitamente questo dialogo nel Capitolo 12 del libro L'ordine del tempo. Struttura essenziale:

1. Il re chiede al monaco di presentarsi.
2. Nagasena risponde che "Nagasena" è solo un nome convenzionale; non esiste un soggetto sostanziale corrispondente.
3. Il re prova a localizzare il "vero" Nagasena nelle parti del corpo: capelli, ossa, organi, sensazioni, pensieri.
4. Nagasena accetta che non si trova in nessuna delle parti né nell'insieme.
5. Nagasena ribalta la questione: cos'è un carro? Sono le ruote, il timone, l'asse, il sedile? Nessuna di queste parti è "il carro".
6. Il re ammette che "carro" è il nome convenzionale dato all'insieme funzionale delle parti.
7. Nagasena conclude: "Nagasena" è similmente il nome di un aggregato di parti e processi (corpo, sensazioni, percezioni, formazioni mentali, coscienza).

La dottrina di anatta (non-sé)

Il dialogo illustra la dottrina buddista di anatta (in pali) o anātman (in sanscrito) — il non-sé: non esiste un'essenza sostanziale "io" dietro le componenti dell'esperienza. L'"io" è un'etichetta convenzionale per un aggregato dei cinque skandha (in pali khandha):

1. Rupa (forma materiale)
2. Vedanā (sensazione)
3. Saññā (percezione)
4. Saṅkhāra (formazioni mentali)
5. Viññāṇa (coscienza)

Anatta è una delle tre caratteristiche dell'esistenza (tilakkhana) nel buddismo, insieme ad anicca (impermanenza) e dukkha (sofferenza).

La ripresa di Rovelli

Rovelli usa il dialogo come illustrazione della convergenza tra la dottrina buddista antica e la prospettiva della fisica moderna: l'identità non è una sostanza permanente ma una configurazione di processi in continuo divenire.

Marcel Proust (1871-1922)

Scrittore francese, considerato tra i più importanti del Novecento. Nato a Parigi da famiglia agiata: padre Adrien Proust, medico igienista; madre Jeanne Weil, di famiglia ebraica alsaziana.

Soffrì di asma e altre malattie croniche dall'infanzia. Negli ultimi 10 anni di vita si ritirò in un appartamento al 102 Boulevard Haussmann (poi 44 rue Hamelin), in una camera rivestita di sughero per attutire i rumori, scrivendo À la recherche du temps perdu prevalentemente di notte. Morì il 18 novembre 1922, lasciando gli ultimi tre volumi del romanzo in revisione.

À la recherche du temps perdu

"Alla ricerca del tempo perduto", romanzo in sette volumi, pubblicato tra il 1913 e il 1927. Lunghezza totale: circa 3.200 pagine (l'edizione Pléiade conta 4 volumi per 4.300 pagine includendo apparati critici).

Calendario di pubblicazione:

1. Du côté de chez Swann — 1913 (Grasset, poi Gallimard).
2. À l'ombre des jeunes filles en fleurs — 1919 (Gallimard). Premio Goncourt 1919.
3. Le Côté de Guermantes — 1920-1921 (Gallimard).
4. Sodome et Gomorrhe — 1921-1922 (Gallimard).
5. La Prisonnière — 1923 (postumo, Gallimard).
6. Albertine disparue (originariamente La Fugitive) — 1925 (postumo, Gallimard).
7. Le Temps retrouvé — 1927 (postumo, Gallimard).

L'ultima parola del romanzo è Temps ("Tempo").

Il narratore

Il narratore della Recherche è in prima persona ed è innominato per la maggior parte del romanzo. Solo in due passaggi del volume V (La Prisonnière) viene chiamato "Marcel", da cui la convenzione critica di nominarlo così. Il narratore non coincide con Proust autore: la Recherche non è un'autobiografia in senso stretto, anche se molti elementi sono biograficamente ispirati.

La scena della madeleine

Nelle prime decine di pagine di Du côté de chez Swann (volume 1, "Combray"). Il narratore adulto, tornato a casa una sera invernale, riceve dalla madre una tazza di tè con piccoli dolci a forma di conchiglia, le madeleine. Inzuppa la madeleine nel tè e l'assaggia.

Una sensazione di felicità intensa lo travolge senza spiegazione apparente. Cerca di analizzarne l'origine. Dopo vari tentativi, riconosce: il sapore della madeleine inzuppata nel tè gli riporta alla coscienza le mattine d'infanzia a Combray, quando sua zia Léonie gli offriva la stessa cosa.

Da questo trigger sensoriale si schiudono intere regioni della memoria: la zia, la casa, il giardino di Combray, le persone, le abitudini — un mondo che il narratore credeva perduto.

La memoria involontaria (mémoire involontaire)

Proust distingue due tipi di memoria:

• Memoria volontaria (mémoire volontaire): il ricordo deliberato, ricostruito consapevolmente. Per Proust è povera e schematica.
• Memoria involontaria (mémoire involontaire): il ricordo che emerge spontaneamente da uno stimolo sensoriale (sapore, odore, suono, sensazione tattile). Per Proust è autentica e ricca, restituisce il passato nella sua densità originaria.

La Recherche è costruita attorno a una serie di esperienze di memoria involontaria (la madeleine; le pietre disconnesse della corte di Guermantes; il rumore di un cucchiaio; il tovagliolo inamidato): ciascuna apre l'accesso a un'epoca della vita del narratore.

La frase più citata

"La réalité ne se forme que dans la mémoire."

— Marcel Proust, Du côté de chez Swann (1913)

Traduzione: "La realtà si forma soltanto nella memoria."

La realtà vissuta non è il puro presente percepito, ma il presente filtrato e ricostruito attraverso la memoria. Il tempo perduto non è perduto: è conservato in tracce nascoste, e può essere ritrovato solo attraverso l'esperienza specifica della memoria involontaria.

La ripresa di Rovelli

Rovelli, L'ordine del tempo, Capitolo 12: usa Proust come illustrazione letteraria della tesi che l'identità personale e il tempo vissuto sono strutturati dalla memoria. Le tracce neurali sono il substrato fisico della memoria proustiana; la memoria involontaria mostra come stati di coscienza interi siano contenuti in poche tracce; un romanzo di 3.200 pagine può svolgersi quasi interamente all'interno di una mente.

Michele Besso (1873-1955)

Michele Angelo Besso (1873-1955) era un ingegnere italo-svizzero, l'amico più stretto di Einstein. I due si erano conosciuti al Politecnico federale di Zurigo (ETH) durante gli anni di studio.

Einstein lo definì "the best sounding board in Europe" ("il miglior interlocutore d'Europa"). Besso fu importante per Einstein nell'elaborazione della relatività speciale: il articolo del 1905 sull'elettrodinamica dei corpi in moto (Annalen der Physik, 17, 891-921) si chiude con un ringraziamento esplicito.

Il carteggio Einstein-Besso comprende 229 lettere dal 1903 al 1955, pubblicato in Albert Einstein–Michele Besso. Correspondance 1903-1955 (Hermann, Paris, 1972).

La morte di Besso e la lettera

Michele Besso muore il 15 marzo 1955 a Ginevra, all'età di 81 anni.

Einstein, all'epoca 76enne e con gravi problemi di salute (aneurisma aortico già diagnosticato), apprende la notizia e il 21 marzo 1955 scrive una lettera di condoglianze alla sorella e al figlio di Besso. La lettera contiene la frase più citata di Einstein sul tempo:

"Für uns gläubige Physiker hat die Scheidung zwischen Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft nur die Bedeutung einer wenn auch hartnäckigen Illusion."

— Albert Einstein, lettera del 21 marzo 1955 alla famiglia Besso

Traduzione: "Per noi fisici credenti, la distinzione tra passato, presente e futuro ha solo il significato di un'illusione, ostinata e persistente."

Il contesto della frase

La frase immediatamente precedente nella stessa lettera è:

"Now he has departed from this strange world a little ahead of me."

— Albert Einstein, lettera del 21 marzo 1955

Traduzione: "Ora lui è partito da questo strano mondo un poco prima di me."

Einstein sta scrivendo a una sorella che ha appena perso il fratello, sapendo lui stesso di essere prossimo alla morte. Non è un saggio scientifico sulla natura del tempo: è una lettera di condoglianze tra due famiglie legate da decenni di amicizia.

La lettura di Rovelli

Rovelli, nel Capitolo 9 del libro L'ordine del tempo, sostiene che la frase non vada presa come dichiarazione filosofica sull'eternalismo. L'"illusione ostinata e persistente" a cui Einstein si riferisce, nel contesto, riguarda non solo il tempo della fisica ma anche la separazione, la perdita, la finitezza della vita umana. È una formula di consolazione, non un argomento ontologico.

La morte di Einstein

Einstein muore il 18 aprile 1955 all'ospedale di Princeton, circa cinque settimane dopo Besso. Causa: rottura di un aneurisma aortico addominale che aveva rifiutato di operare. Aveva 76 anni.

La struttura del libro

Parte 1 (capp. 1-6): "Lo sgretolarsi del tempo"

Capitolo per capitolo, Rovelli mostra come l'immagine intuitiva del tempo (uniforme, universale, scorre dal passato al futuro, indipendente dalle cose, continuo) si trasformi sotto l'analisi della fisica:

• Cap. 1: l'unicità (il tempo non è uniforme — gravità).
• Cap. 2: la direzione (la freccia del tempo è statistica, non fondamentale).
• Cap. 3: il presente (non esiste un "adesso" globale — relatività speciale).
• Cap. 5: l'indipendenza (il tempo è il campo gravitazionale).
• Cap. 6: la continuità (il tempo è granulare alla scala di Planck).

Conclusione della Parte 1: a livello fondamentale, il "tempo" come entità unitaria non esiste. Esistono solo correlazioni quantistiche tra processi.

Parte 2 (capp. 7-13): "Il mondo senza tempo"

Se il tempo non è fondamentale, come è possibile che noi lo viviamo? Rovelli ricostruisce:

• Cap. 7: il mondo è fatto di eventi, non di cose (ontologia processuale).
• Cap. 8: presentismo, eternalismo, e la posizione relazionale.
• Cap. 9: il tempo termico (entropia e sfocatura).
• Cap. 10: la prospettiva (osservatore + sistema).
• Cap. 11: la peculiarità (entropia, vita, tracce, causalità).
• Cap. 12: l'odore della madeleine (memoria, identità).
• Cap. 13: le sorgenti del tempo (sintesi).

Conclusione della Parte 2: il tempo vissuto emerge dall'interazione tra noi (esseri di memoria e anticipazione) e il flusso entropico cosmico.

La sintesi del Capitolo 13

"Noi creature umane siamo l'effetto di questa grande storia dell'aumento dell'entropia, tenuti insieme dalla memoria permessa da queste tracce. Ciascuno di noi è un'identità perché riflette il mondo, perché ci siamo formati un'immagine identitaria unitaria interagendo con i nostri simili, e perché è una prospettiva sul mondo unificata dalla memoria. Da questa unificazione nasce ciò che chiamiamo il fluire del tempo."

— Carlo Rovelli, L'ordine del tempo (Adelphi, 2017), capitolo 13

Identità e tempo soggettivo nascono insieme dalla stessa radice: la memoria, sostenuta dalle tracce neurali, ordinate dal gradiente entropico cosmico.

Il riferimento al Qohelet

Rovelli chiude con un riferimento al Qohelet (Ecclesiaste), libro sapienziale della Bibbia ebraica e del Vecchio Testamento cristiano, attribuito tradizionalmente al "predicatore" (in ebraico qoheleth; in greco LXX ekklesiastes). Il passaggio citato è Qohelet 3:1-8 (il celebre "C'è un tempo per ogni cosa"):

"Un tempo per nascere e un tempo per morire."

— Qohelet 3:2

La meditazione finale

Il libro chiude con una meditazione sull'accettazione dell'effimero. Rovelli, ultima pagina:

"Possiamo sorridere. Possiamo tornare a immergerci serenamente nel tempo, nel nostro tempo finito, da assaporare l'intensità chiara di ogni fuggevole, prezioso momento di questo breve cerchio."

— Carlo Rovelli, L'ordine del tempo (Adelphi, 2017), capitolo 13

Il messaggio conclusivo: dopo aver analizzato il tempo come fenomeno emergente — non come palcoscenico assoluto, non come entità eterna, non come illusione totale — l'accettazione della finitezza diventa il presupposto per vivere intensamente la durata di ciascun momento.

Siddhārtha Gautama

Siddhārtha Gautama — il Buddha ("Risvegliato"). Datazione tradizionale: 563-483 a.C.; molti studiosi moderni propongono date posteriori (~480-400 a.C., "short chronology"). Nato a Lumbinī (oggi Nepal), nella regione del clan Shakya. Figlio di Suddhodana, capo locale del clan.

Dopo l'esperienza del risveglio (bodhi) sotto un albero di ficus religiosa a Bodh Gayā (Bihar, India), intorno ai 35 anni, predica per ~45 anni nel nord dell'India (regione del Gange). Le sue parole, conservate inizialmente oralmente, costituiscono il fondamento del Canone Pali (composto per iscritto a Sri Lanka nel I sec. a.C.).

Il primo discorso (Dhammacakkappavattana Sutta)

Subito dopo l'illuminazione, il Buddha predica il suo primo discorso ai cinque asceti suoi ex compagni nel Parco dei Cervi (Mṛgadāva, oggi Isipatana/Sarnath), vicino a Varanasi. Il discorso è chiamato Dhammacakkappavattana Sutta — "Il discorso della messa in moto della ruota del Dhamma" (Samyutta Nikaya 56.11).

In questo discorso il Buddha espone le Quattro Nobili Verità (in pali: Cattāri Ariyasaccāni).

Le Quattro Nobili Verità

1. La Verità della sofferenza (Dukkha-sacca) — l'esistenza condizionata è caratterizzata da dukkha.
2. La Verità dell'origine della sofferenza (Samudaya-sacca) — la sofferenza nasce dal desiderio/attaccamento (taṇhā).
3. La Verità della cessazione della sofferenza (Nirodha-sacca) — la sofferenza può cessare se si estingue l'attaccamento.
4. La Verità del sentiero (Magga-sacca) — il Nobile Ottuplice Sentiero porta alla cessazione della sofferenza.

La Prima Nobile Verità: dukkha

Il termine dukkha (pali; sanscrito duḥkha) è difficile da tradurre in lingue indoeuropee moderne. "Sofferenza" è la traduzione classica ma riduttiva. Il termine comprende:

• Sofferenza fisica (dukkha-dukkha): dolore corporeo, malattia.
• Sofferenza del cambiamento (viparināma-dukkha): la perdita di stati piacevoli.
• Sofferenza esistenziale strutturale (saṅkhāra-dukkha): l'instabilità intrinseca di tutto ciò che è condizionato.

Le forme della sofferenza nel testo originale

Nel Dhammacakkappavattana Sutta (Samyutta Nikaya 56.11), la prima Nobile Verità è articolata come:

"Idaṃ kho pana, bhikkhave, dukkhaṃ ariyasaccaṃ: jātipi dukkhā, jarāpi dukkhā, byādhipi dukkho, maraṇampi dukkhaṃ, appiyehi sampayogo dukkho, piyehi vippayogo dukkho, yampicchaṃ na labhati tampi dukkhaṃ, saṃkhittena pañcupādānakkhandhā dukkhā."

Traduzione (basata sulla versione di Bhikkhu Bodhi e Thanissaro Bhikkhu):

1. La nascita è dukkha (jāti dukkhā).
2. La vecchiaia è dukkha (jarā dukkhā).
3. La malattia è dukkha (byādhi dukkho).
4. La morte è dukkha (maraṇaṃ dukkhaṃ).
5. L'unione con ciò che non si ama è dukkha (appiyehi sampayogo dukkho).
6. La separazione da ciò che si ama è dukkha (piyehi vippayogo dukkho).
7. Il non ottenere ciò che si desidera è dukkha (yampicchaṃ na labhati tampi dukkhaṃ).
8. In sintesi, i cinque aggregati dell'attaccamento sono dukkha (pañcupādānakkhandhā dukkhā).

Alcune versioni includono come voce separata "soka-parideva-dukkha-domanassupāyāsā" (dolore, lamento, sofferenza, afflizione, disperazione), portando il numero degli elementi a 8-9. Rovelli nel libro ne elenca sette, raggruppando o omettendo voci.

Il legame con il tempo

Rovelli osserva nel Capitolo 12 che le forme della dukkha hanno una radice strutturale comune nel tempo: la nascita inizia un percorso destinato a terminare; la vecchiaia è la perdita progressiva di ciò che si era; la morte è la perdita totale; la separazione da ciò che si ama è perdita nel tempo; il non ottenere è desiderio orientato a un futuro che non si realizza. La condizione umana, secondo Rovelli, è la condizione di esseri che esistono nel tempo, esposti a continuo cambiamento e perdita.